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狭义相对论中的拉格伦日函数

已有 5426 次阅读 2011-7-12 09:29 |个人分类:未分类|系统分类:科研笔记| 狭义相对论, 哈密顿原理, 拉格伦日函数

狭义相对论中的拉格伦日函数

（物理学上的时空与物质40）

第四章狭义相对论关于物质的基本概念和基本规律

§4.7 狭义相对论中的拉格伦日函数

本书打算陆续逐步讨论各类物质（质点、质点系、各类场等）在各种情况下（牛顿力学、狭义相对论、广义相对论、规范场论、有挠引力理论等）的拉格伦日函数及哈密顿原理。我们将看到哈密顿原理是物理学上普遍适用的原理，它适用于上述各种情况下的各种物质；不仅在非量子化的条件下适用，而且在量子化的条件下也适用。我们还将看到，同一类物质在不同的理论中（如牛顿力学、狭义相对论、广义相对论、规范场论、有挠引力理论等）的拉格伦日函数是不相同的，但都适合数学形式相似的哈密顿原理。这就是说，物质的各种特性和所遵从的规律，在极大程度上可由其拉格伦日函数及哈密顿原理来反映。在应用哈密顿原理时，必须先找到所讨论的物质在所采用的理论中处于某些情况下的拉格伦日函数。这与所讨论问题的各种条件和所讨论物质的某些特性有关，以后对这些问题将陆续分别进行讨论。本节我们着重讨论狭义相对论中的拉格伦日函数的一般特性。

4.7.1 狭义相对论中一个质点的拉格伦日函数

我们已经讲过，在牛顿力学的范围内一个质点的拉格伦日函数。现在我们来把牛顿力学中的一个质点的拉格伦日函数和哈密顿原理推广到狭义相对论。

我们知道，在牛顿力学中一个质点在势场的拉格伦日函数为

相互作用力的传播是瞬时的。可是在狭义相对论中，不准许这样做，因为这违反了狭义相对论的精神。狭义相对论认为，相距一段距离的两个质点之间的相互作用，经过这段距离需要一定的时间。因之，若不加上场的中介作用（即质点在其周围产生场，场以力作用在其他质点上），狭义相对论便无法研究质点系内的相互作用；这个问题留在下一小节讨论。现在我们先来研究一类特殊情

况，在此种情况下，由质点系所形成的物体，其内部的相互作用可看成是接触作用。兹以流体为例，流体内部的相互作用力，如压力、粘滞力等均可看为是接触作用。于是违反狭义相对论的精神问题就不存在了。我们将只讨论这类质点系。

4.7.3    一群荷电质点及其电磁场的拉格伦日函数

   现在我们来在狭义相对论中引入场的概念和谈谈经由什么途径去找出场和质点相互作用的拉格伦日函数以及场本身的拉格伦日函数。引入场概念的基本思想是：具有某些特性的质点在其周围可产生某种场（例如带电运动质点在其周围可产生电磁场），这种场对位于场中的其它具有相同特性的质点要施加作用力。如何研究场呢？场在空间是连续分布的，我们在想象中可把场分解为一个个的小体积，小到可看成是质点，常称之为场元。每个场元具有场势（例如电磁场具有4维电磁势A_k(x)），它是场元4维位置坐标的函数。在牛顿力学中，用位置坐标和动量来表示质点的状态，与此相类似，在场论中，用场势和场势对4维位置坐标的偏导数来表示场元的状态。

在本小节中，我们要讨论一群荷电质点及其电磁场的拉格伦日函数（请注意，在所研究的问题中，具有能量的物质有三部分：1，一些质点，2，场，3，场和质点相互作用能量所对应的物质）。如何找出电磁场及其作用的拉格伦日函数？以按照规范场理论的思想来找出，概念最清楚，条理最分明；这个问题留到以后再讲，现在我们只写出结果。

一群荷电质点及其电磁场的哈密顿作用量S可表示如下[4.1]：

对于一个物理体系，找到了它的拉格伦日函数（或拉格伦日函数密度）就可以应用哈密顿原理求出这个体系的运动方程或演化方程，反过来说，如果知道这个体系的运动方程或演化方程，也常常能够获得这个体系的拉格伦日函数（或拉格伦日函数密度）；这表明拉格伦日函数（或拉格伦日函数密度）和哈密顿原理应是物理学上的普遍规律。

第四章参考文献

[4.1] Landau L. D. and Lifshitz E. M. ， 1975， “The Classical Theory of Fields”，

              Translated by Hamermesh M.， Pergamon Press， Oxford.

[4.6] 福克.1965，“空间、时间和引力的理论”，周培源等译，科学出版社，北京。