博文
事件、时-空流形及其图示
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事件、时-空流形及其图示
（物理学上的时间与空间2）
我们讲过，在一极小的空间范围和一极短时间间隔之内所发生的物理变化，被称为事件；任何物理现象都是由许许多多事件所组成的。在极限的情况下可以认为，每一事件所占据的空间范围小到可视为一几何点，每一事件所处的时间区间也小到可视为一瞬刻；故一事件的空间位置可用空间坐标（x1=x, x2=y, x3=z）来描述，一事件所发生的时刻可用时间坐标（x0=ct）来描述。每一事件都在4维时-空中处于一定的位置，称为事件的时-空位置，可用该事件的4维时-空坐标（x0, x1, x2, x3）来描述。自然界中已发生和可能发生的全部事件之时-空位置的集合，可称为时-空流形。时-空流形的数学模型是个具有度规和联络的微分流形；‘流形’之意是‘流动的形体’，这意味着时空将随着物理现象变化而变化。
现在来说明一下一个事件之4维时-空位置的坐标（x0, x1, x2, x3）是如何确定的？在牛顿力学中、狭义相对论中、广义相对论中、以及有挠引力理论中，要确定一个事件之4维时-空位置的坐标（x0, x1, x2, x3），都必须要有参照系和坐标系。在牛顿力学中和狭义相对论中，参照系通常选用惯性参照系，坐标系通常选用直角坐标系，这样，在讨论和计算时最为简便；在牛顿力学中和狭义相对论中，参照系也可选用加速参照系，坐标系也可选用曲线坐标系，这样，在讨论和计算时增加了复杂性，但易于看出各类时-空的一些共同特性。在广义相对论中和有挠引力理论中，由于它们的时-空都是弯曲时空，参照系只能选用加速参照系，坐标系也只能选用曲线坐标系。
选用不同的参照系，或者选用不同的坐标系，会使得一个事件之4维时-空位置的坐标具有不同的数值。例如在牛顿力学中，当选用某一惯性参照系和直角坐标系时，一事件之4维时-空位置的坐标为（t, x, y, z），若选用另一惯性参照系和直角坐标系时，该事件之4维时-空位置的坐标将变为（t', x', y', z'）,并且t'= t, （x', y', z'）与（x, y, z）之间满足伽利略变换。又如在狭义相对论中，当选用某一惯性参照系和直角坐标系时，一事件之4维时-空位置的坐为（ct, x, y, z），若选用另一惯性参照系和直角坐标系时，该事件之4维时-空位置的坐标将变为（ct', x', y', z'）， 并且（ct', x', y', z'）与（ct,x,y,z）之间满足洛伦茲变换。请注意，上述讨论说明了4维时-空位置和事件的概念对牛顿力学也是适用的。在广义相对论及有挠引力理论中，当选用某一加速参照系和某一曲线坐标系时，一事件之4维时-空位置的坐标为（ct,x1,x2,x3），若选用另一加速参照系和另一曲线坐标系时，该事件之4维时-空位置的坐标将变为（ct', x1', x2', x3'），而（ct', x1', x2', x3'）与（ct, x1, x2, x3）之间的变换为任意坐标变换。
大家知道，地理学中可以在一平面（纸面）上用地图大致画出地球表面的情况；由于地球表面是球面不是平面，必须用几个图并在一起才能看出地球表面的情况。在物理学和数学中，也可以在一平面（纸面）上用图形大致表示出时-空流形的情况；由于时-空流形是4维几何体不是2维平面，也必须用几个图并在一起才能看出时-空流形的情况。本文只是科普性的博文，不打算详细讲述如何用几个图并在一起去说明时-空流形的情况；我们只指出与时-空流形有关的下述两个特性：
1、若选用的参照系和坐标系不相同时，一事件之4维时-空位置的坐标也随之不相同。设有两邻近事件，当选用某一参照系和某一坐标系时，它们之4维时-空位置的坐标分别为（ct, x1, x2, x3）及（ct+cdt, x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3），若选用另一参照系和另一坐标系时，它们之4维时-空位置的坐标将变为（ct', x1', x2', x3'） 及（ct’+cdt’, x1'+dx1', x2'+dx2', x3'+dx3'），虽然，（ cdt, dx1, dx2, dx3）不等于（cdt', dx1', dx2', dx3'），但在两种选用下的时-空间隔是相等的，即gijdxidxj=g'kldx'kdx'l。这宛如用不同的比例来画地图，地图的大小虽不相同，但两地之间的客观距离不会改变；选用不相同的参照系和坐标系相当于采用不同的比例来画地图，（ cdt, dx1, dx2, dx3）不等于（cdt', dx1', dx2', dx3'）相当于地图的大小不相同，时-空间隔相等相当于两地之间的客观距离不会改变。
2、时-空流形中，在任意两个时空点之间，总可以找到另一些时-空点，这就是说，时空流形是个连续体。在目前，牛顿力学理论、狭义相对论、广义相对论、有挠引力理论、非相对论性量子力学、非引力的量子场论等现有的理论中，所涉及的时-空流形都被认为是连续的。可是，若时-空也是量子化的，则时-空流形的数学模型便不可能是连续的，这个问题尚待深入研究。
与时-空流形有关的其它特性留在以后再谈。
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https://blog.sciencenet.cn/blog-71626-381605.html
上一篇：目前物理学对‘时-空是什么？’的回答
下一篇：度规和联络是时-空的特性还是物质场的特性？
（物理学上的时间与空间2）
我们讲过，在一极小的空间范围和一极短时间间隔之内所发生的物理变化，被称为事件；任何物理现象都是由许许多多事件所组成的。在极限的情况下可以认为，每一事件所占据的空间范围小到可视为一几何点，每一事件所处的时间区间也小到可视为一瞬刻；故一事件的空间位置可用空间坐标（x1=x, x2=y, x3=z）来描述，一事件所发生的时刻可用时间坐标（x0=ct）来描述。每一事件都在4维时-空中处于一定的位置，称为事件的时-空位置，可用该事件的4维时-空坐标（x0, x1, x2, x3）来描述。自然界中已发生和可能发生的全部事件之时-空位置的集合，可称为时-空流形。时-空流形的数学模型是个具有度规和联络的微分流形；‘流形’之意是‘流动的形体’，这意味着时空将随着物理现象变化而变化。
现在来说明一下一个事件之4维时-空位置的坐标（x0, x1, x2, x3）是如何确定的？在牛顿力学中、狭义相对论中、广义相对论中、以及有挠引力理论中，要确定一个事件之4维时-空位置的坐标（x0, x1, x2, x3），都必须要有参照系和坐标系。在牛顿力学中和狭义相对论中，参照系通常选用惯性参照系，坐标系通常选用直角坐标系，这样，在讨论和计算时最为简便；在牛顿力学中和狭义相对论中，参照系也可选用加速参照系，坐标系也可选用曲线坐标系，这样，在讨论和计算时增加了复杂性，但易于看出各类时-空的一些共同特性。在广义相对论中和有挠引力理论中，由于它们的时-空都是弯曲时空，参照系只能选用加速参照系，坐标系也只能选用曲线坐标系。
选用不同的参照系，或者选用不同的坐标系，会使得一个事件之4维时-空位置的坐标具有不同的数值。例如在牛顿力学中，当选用某一惯性参照系和直角坐标系时，一事件之4维时-空位置的坐标为（t, x, y, z），若选用另一惯性参照系和直角坐标系时，该事件之4维时-空位置的坐标将变为（t', x', y', z'）,并且t'= t, （x', y', z'）与（x, y, z）之间满足伽利略变换。又如在狭义相对论中，当选用某一惯性参照系和直角坐标系时，一事件之4维时-空位置的坐为（ct, x, y, z），若选用另一惯性参照系和直角坐标系时，该事件之4维时-空位置的坐标将变为（ct', x', y', z'）， 并且（ct', x', y', z'）与（ct,x,y,z）之间满足洛伦茲变换。请注意，上述讨论说明了4维时-空位置和事件的概念对牛顿力学也是适用的。在广义相对论及有挠引力理论中，当选用某一加速参照系和某一曲线坐标系时，一事件之4维时-空位置的坐标为（ct,x1,x2,x3），若选用另一加速参照系和另一曲线坐标系时，该事件之4维时-空位置的坐标将变为（ct', x1', x2', x3'），而（ct', x1', x2', x3'）与（ct, x1, x2, x3）之间的变换为任意坐标变换。
大家知道，地理学中可以在一平面（纸面）上用地图大致画出地球表面的情况；由于地球表面是球面不是平面，必须用几个图并在一起才能看出地球表面的情况。在物理学和数学中，也可以在一平面（纸面）上用图形大致表示出时-空流形的情况；由于时-空流形是4维几何体不是2维平面，也必须用几个图并在一起才能看出时-空流形的情况。本文只是科普性的博文，不打算详细讲述如何用几个图并在一起去说明时-空流形的情况；我们只指出与时-空流形有关的下述两个特性：
1、若选用的参照系和坐标系不相同时，一事件之4维时-空位置的坐标也随之不相同。设有两邻近事件，当选用某一参照系和某一坐标系时，它们之4维时-空位置的坐标分别为（ct, x1, x2, x3）及（ct+cdt, x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3），若选用另一参照系和另一坐标系时，它们之4维时-空位置的坐标将变为（ct', x1', x2', x3'） 及（ct’+cdt’, x1'+dx1', x2'+dx2', x3'+dx3'），虽然，（ cdt, dx1, dx2, dx3）不等于（cdt', dx1', dx2', dx3'），但在两种选用下的时-空间隔是相等的，即gijdxidxj=g'kldx'kdx'l。这宛如用不同的比例来画地图，地图的大小虽不相同，但两地之间的客观距离不会改变；选用不相同的参照系和坐标系相当于采用不同的比例来画地图，（ cdt, dx1, dx2, dx3）不等于（cdt', dx1', dx2', dx3'）相当于地图的大小不相同，时-空间隔相等相当于两地之间的客观距离不会改变。
2、时-空流形中，在任意两个时空点之间，总可以找到另一些时-空点，这就是说，时空流形是个连续体。在目前，牛顿力学理论、狭义相对论、广义相对论、有挠引力理论、非相对论性量子力学、非引力的量子场论等现有的理论中，所涉及的时-空流形都被认为是连续的。可是，若时-空也是量子化的，则时-空流形的数学模型便不可能是连续的，这个问题尚待深入研究。
与时-空流形有关的其它特性留在以后再谈。
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