前言

我是一名从事建筑行业的结构工程师，工科背景。建筑结构的科学背景大部分是力学，引申至数学中，那是几何、线性代数、微分方程等等。

念本科及研究生期间，对我来说是一段珍贵的对数学对科学独立思考的时间，对中国外国数学的教授方式，对理科及工科存在的思维差异，以及由数学上升至对全人类意义的探索。其实世界上的很多事情的多样性是越来越大的，因为事态会发展就会变化，就像宇宙大爆炸之后越来越无序，人的认知也是，比如因为信息的差异常常会听到人们讲一个词“瓶颈”，扛过去了之后就会说“柳暗花明”，突破原有认知是比较困难的，因为认知来源于经历。我写《数学→哲学系列探索》的原因是渴望更多的人，能够在我点出对数学对世界的一些观点后能一起讨论，真正探索数学乃至人类的意义。

数学→哲学系列探索1

这一集的主题是傅里叶变换及数学中投影的概念→“你所看到的世界很可能有另外一种表达方式。”

傅里叶变换说的是，一个信号能够从时域转换到频域。信号，不仅仅说的是电子工程中的信号，可以理解为信息，一个关于时间在变化的信息；时域，说的就是这个信号随着时间在动；频域，说的是这个信号不动了，频率在动，时间没有了。开始有点诡异了，时间这个概念已经在人们的心中根深蒂固，如果说这个这是世界上没有时间的概念恐怕会被人当成精神有问题。

接下来谈一下傅里叶变换为什么诞生？傅里叶是一个人，他做的这个工作的最初目的我不清楚。按照我作为一个工科生去猜测，他应该是在计算某些方程时采取的一种灵活的更方便的计算办法。比如对于结构工程中来说，共振是一个很重要的概念，一个桥梁会因为“共振”现象产生而被振坏，浅显地讲，一个结构有一个基本振动频率，就是这个结构微弱扰动下会以一个周期（比如2秒，周期和频率一个概念，周期是一周的时间，频率是一秒多少次，周期2s就是频率0.5Hz,一秒0.5次）在上下振动，如果外界持续以这个周期作用，就是说，结构走到正的最大振幅处就被外力往外冲，走到负的最大振幅处又被外力往外冲，久而久之经过能量积累，这个振幅会越来越大，结构损伤越来越大，扛不住而破坏。外界的输入，我们称作荷载，比如风荷载、地震荷载等，他们其实是一个信号，因为他们随着时间在动f(t)，这些信号是很复杂的，不是简单地以一个周期在动，而是看似毫无规律的。因为存在“共振现象”，所以如果能够将f(t)拆成很多个周期“成分”的函数加起来，会很有意义，因为那个跟结构周期共振的“成分”大和小是很关键的。结构工程师需要将结构设计成尽量远离共振，并且验算结构在外荷载作用下的结构损伤不能太大。

当然我们知道傅里叶找到了这样一个办法，并且在多位后人完善了这一理论，形成了一个严谨的数学理论。我在念书的时候曾深入学习过这一过程，并写了一个读书笔记，有兴趣可见 傅立叶变换读书笔记——陈斯聪2014.pdf ：那是以工科人的角度去整理的，类似在讲一个故事，有数学基础的人会很好理解。

按理说傅里叶变换在数学层面已经结束，但是数学公式神奇的地方就是，他让数学家在形成严谨理论的过程中，一步一步升华，发现他只是包括在数学大厦中的一个小东西，就是投影的概念。（可能有点像物理上总是想追求统一，数学也是一直在统一）傅里叶变换将f(t)分解成有很多不同频率的子项，子项前面系数计算的时候，该系数其实是f(t)在那个分项上的投影。这里又得细细道来。我们说投影，一般是在笛卡尔坐标系中，一个向量相对于X轴或Y轴的投影，（x1,x2）·（1,0）=x1,说明在X轴上的成分是x1,这里的投影和f(t)的投影其实是一个事情，只有一处不一样，这里的坐标轴不是二维的，而是无穷维的。题外话，如果有人在学傅里叶变换一直记不住那些公式的话，那么看到这篇文章中的两个字“投影”，一定会恍然大悟，那些公式根本不用背诵。

一个信号的分解原来是无穷维坐标系的投影。往外一步讲，大家有没有发现，傅里叶变换把时间t给整没了。按照我们的常识理解，只要是会动的东西，都是信号，只要是信号，就可以傅里叶变换，所以对这个世界进行傅里叶变换，时间就没了。那么你看到的世界是怎么样的呢？