这个博客讲述最直接的波色化(Bosonization)的构造方法。考虑这样的算子$\phi$, 它有这样的性质:

$$\boxed{e^{i\alpha \phi(x)} e^{i\beta \phi(y)} = e^{i\alpha \phi(x)+i\beta \phi(y)} (x-y + i\epsilon)^{\alpha\beta}} $$

其中$\alpha$, $\beta$为任意实数，$\phi = \phi^\dagger$ --- 这是因为它和相位有关。

定义场算子

$$\boxed{\psi = e^{i\phi}}$$

我们证明它是费米子。

证明： 我们需要用到下面的结果

$$[\psi(x), \psi(y)] = ic(x-y)$$

其中，$c(x-y) \sim i \ln(x-y+i\epsilon)$。

我们需要利用这个等式，

$$e^A e^B = e^{A+B+[A,B]/2}$$

计算下面的对易关系

$$\{\psi(x), \psi^\dagger(y)\} = \psi(x) \psi^\dagger(y) + \psi^\dagger(y)\psi(x) = e^{D} (x-y+i\epsilon)^{-1} + e^{D} (y-x+i\epsilon)^{-1} = \delta(x-y)$$

其中 $D = i\phi(x) -i\phi(y)$。显然，它满足费米子的要求。

另外

$$\{\psi(x), \psi(y)\} = \psi(x) \psi(y) + \psi(y)\psi(x) = e^{K} (x-y+i\epsilon)^{+1} + e^{K} (y-x+i\epsilon)^{+1} = i\epsilon (\cdots) = 0$$

其中 $K = i\phi(x) +i\phi(y)$。

结果前面的结果，显然$\psi$是费米子。

那么，如果用波色子构造$\phi$，也是直接的。假设

$$\phi = \sum_q f_q e^{iqx} b_q + f_q^* e^{-iqx} b_q^\dagger$$

说白了就是傅立叶变化，但是这里$b_q$是波色子。显然，$\phi = \phi^\dagger$。

所以我们有

$$c(x-y) = [\phi(x), \phi(y)] = \sum_q f_q f_q^* e^{iq(x-y)} - f_q^* f_q e^{iq(y-x)}$$

我们假设$f_q = A/\sqrt{|q|}$。显然，$c^\dagger =-c$。如果我们假设$q = {2\pi n \over L}$, 那么上面的结果等于

$$c \sim \sum_{n \ne 0} e^{-a|n|} (e^{i2\pi(x-y)/L} - e^{-i2\pi(x-y)/L})/|n| \sim \ln(x-y+ia)$$

(to be continued tomorrow)