这里讨论这篇论文: The functional-integration method and diagram technique for spin systems, V.N. Popov, S.A. Fedotov, 1987. http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/e/index/e/67/3/p535?a=list

博主按：这个想法简单到不值一提---一个字，牛。

问题的提出：对于自旋系统，如果我们做下面的替换

$$\sigma_\dagger \rightarrow a^\dagger b, \quad \sigma_z = a^\dagger a - b^\dagger b$$

我们可能遇到这样一个问题：自旋系统原来的自由度为2, 但是替换以后自由度为4, 其中2个非2物理的自由度为$|0\rangle$和a^\dagger b^\dagger|0\rangle = |1,1\rangle$。这些态是非物理的---如果直接做泛函分析，会出错。这里，把spin用多个费米场$a$, $b$表示的方法也叫Popov-Fedotov trick / fermionization.

解决方法：定义下面的泛函(spin 1/2系统)

$$Z = \text{Tr} \exp(-\beta H) = i^N \exp(-\beta H_F - i\pi \hat{N}/2)$$.

其中，$\hat{N} =\sum_i^N a_i^\dagger a_i + b_i^\dagger b_i$, $N$总的格点数.

目的：替换以后出来的4个态分别有粒子数0, 1, 2，其中粒子数=0， 2的两个态是非物理的，所以应该去掉。这里的定义正好可以让它们的贡献抵消。原因是$0$ and $2$的贡献为$\exp(i0) + \exp(i\pi) = 0$。对于$1$的态，会贡献一个$\exp(-iN\pi/2) = (-i)^N$，所以前面的$i^N$的目的是为了和它抵消，得到正确的符号。

对格林函数的影响：这里我们看到，我们定义的新的哈密顿是非厄米的，

$$H = H_F + i\pi \hat{N}/2\beta$$

而且它是和温度有关的。这对应一个化学势$-i\pi/2\beta$。

在格林函数中，我们定义Matsubara Frequency

$$G^{-1} = i\omega - (\epsilon + i\pi/2\beta)$$

我们看到，这个复数的化学势完全可以合并到$\omega$中。我们知道，对于费米子，$\omega = (n+1/2)2\pi/\beta$, 所以，加入了这个复数的化学势以后

$$\boxed{(n+1/2) 2\pi/\beta \rightarrow (n+1/4) 2\pi/\beta}$$

所以只要稍稍改变一下Matsubara的频率，就可以得到正确的结果---这一点酷呆了。这个结果表明，只要稍微改变一下边界条件$\psi(0) = \pm \psi(\beta)$, 就可以得到正确的结果。

这个结果不能直接推导到spin-1的系统，对于spin-1的系统：做如下替换

$$s_z = a^\dagger a - b^\dagger b, \quad s^\dagger = a^\dagger c + c^\dagger b$$

这样

$$\hat{N} = \sum_i^N a_i^\dagger a_i + b_i^\dagger b_i + c_i^\dagger c_i$$

这里非物理的解为$0$, $3$，所以定义下面的$H$

$$H = H_F + i\pi\hat{N}/3\beta$$

这个结果对于把Matsubara Frequency改变为

$$\boxed{(n+1/2)2\pi/\beta \rightarrow (n+1/3)2\pi/\beta}$$

总结：可以选择合适的边界条件去掉非物理解。

圈图: 和传统的一样，但是注意边界条件的改变。

可能的问题：对于更大自旋的系统正确吗? YES.  参考下面的文献

http://jp1.journaldephysique.org/articles/jp1/abs/1994/04/jp1v4p493/jp1v4p493.html

Extension of the Popov-Fedotov method to arbitrary spin, O. Veits, R. Oppermann, M. Binderberger and J. Stein

这些结果表明，任何自旋系统都可以用费米子表示---这并不是Popov and Fedotov的本意。