普通的Josephson电流为

$$I \sim \sin(\phi)$$

其中,$\phi$为超导的相位差，所以周期为$2\pi$.

Majorana Josephson结的电流公式为

$$ I \sim \sin(\phi/2)$$

其中,$\phi$为超导的相位差，所以周期为$4\pi$.

这里推导这个结果。主要参考文献：

http://arxiv.org/pdf/1006.4395.pdf

Fig. 1.  考虑1D纳米线由和2块超导体相连， 它们的相位为$\theta_{L,R}$. 1, 2, 3, 4为4个Majorana费米子，其中1, 4的波函数没有交叠，所以最终只有2,3有耦合，见正文讨论。

假设一个1D纳米线由和2块超导体相连，其中相位差为$\phi$。我们定义左右两边的相位为$\theta_{L, R}$。在纳米线中，超导配对项为

$$\Delta e^{i\theta} c_{i\uparrow} c_{i\downarrow} $$

所以我们看到有一个相位，但是这个相位可以通过下面的变换去掉，

$$c_i \rightarrow c_i e^{-i\theta/2}$$

此时，如果定义Majorana费米子，那么有下面的相应变换

$$\gamma_1 = e^{-i\theta_L/2} c_1 + e^{i\theta_L/2} c_1^\dagger, \quad \gamma_2 = i(e^{-i\theta_L/2} c_1 - e^{i\theta_L/2} c_1^\dagger) $$

相应的，对于右边的纳米线可以定义另外一个Majorana费米子

$$ \gamma_3 = e^{-i\theta_R/2} c_2 + e^{i\theta_R/2} c_2^\dagger, \quad \gamma_4 = i(e^{-i\theta_R/2} c_2 - e^{i\theta_R/2} c_2^\dagger) $$

考虑隧穿效应，我们有

$$H = t (c_1^\dagger c_2 + h.c) = t e^{i\phi/2} (\gamma_1 - i\gamma_2) (\gamma_3 +i\gamma_4) + h.c $$

这里$\phi =\theta_L - \theta_R$, 其它计算细节不再给出，最后的结果一般只保留相邻Majorana的耦合，非相邻的耦合就去掉了，因为波函数的交叠 ＝ 0, 因此最后的结果为

$$H \sim i \cos(\phi/2) \gamma_2\gamma_3$$

所以对$\phi$做导数，就得到了前面的结果。