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龚明物理自编习题(9)
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- 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣.
- 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题. 如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了.
- 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献.
龚明
题目:
讨论Majorana费米子的性质. Majorana算子是self-Hermition的， 也就是说$\gamma = \gamma^\dagger$. 但是由于它是费米子，所以满足费米子的基本性质, ${\gamma_i, \gamma_j^\dagger} = \delta_{ij}$. 证明如下性质.
- $\gamma_i^2= 1/2$. 讨论它和普通费米子的差别， 普通费米子的平方等于0.
- 假设$c$是普通的费米子，证明$\gamma_1 = c+c^\dagger$， $\gamma_2 = i(c-c^\dagger)$是Majorana费米子.
- 对于普通的费米子$c$， 证明$c e^{i\theta}$也是费米子, 其中$\theta$是常熟.
- 证明，$\gamma e^{i\theta}$是Majorana费米子的条件是$\theta = 0$, $\pi$. 这个性质也说明Majorana不满足U(1)对称性.
- 证明Majorana费米子的能量=0, 电荷等于0.
- 假设$\gamma_1$, $\gamma_2$是Majorana费米子，证明$\gamma_3 = A(\gamma_1 \pm \gamma_2)$也是Majorana费米子，其中$A$是归一常熟, 且为实数. 假设$\gamma_3 = a\gamma_1 +b\gamma_2$是Majorana费米子, 那么$a$, $b$必须满足什么条件，证明之.
- 证明Majorana费米子不满足普通费米子的交换反对称关系，也就是说$\gamma_i \gamma \gamma_j$ 不等于 $-\gamma_j \gamma \gamma_i$.
题目背景:
1. Majorana费米子提出来有70年了，但是一直没有找到.
2. 最近几年大家的兴趣主要集中在凝聚态物理领域，并且已经有了一些进展. 在凝聚态中，准粒子也有可能是Majorana费米子.
题目意义:
1. 要让学生打破固定思维，认为世界上除了波色就是Dirac费米子, 还有Majorana费米子. 这种固定思维害死人.
2. Majorana费米子有很多优美的性质，值得在量子力学中介绍.
3. 费米子的定义到底是什么，哪个是最根本的，值得在教堂上好好讨论. 书本上介绍了很多费米子的性质，但是谁是最根本的性质？ 是不是所有的性质都必须要满足？这个简单的问题其实在量子力学中没有讨论，可惜.
https://blog.sciencenet.cn/blog-709494-627749.html
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