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龚明物理自编习题(5)
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- 根据最新的物理研究进展, 我将把物理中的一些重要研究内容建华并编写成物理习题. 有兴趣的老师可以把它推荐给你们的学生. 这些习题基于书本知识,但是略高于书本知识, 所以可以大大促进学生对物理学的兴趣.
- 我做这个工作,只希望证明, 物理学前沿并没有那么高深莫测.因此我放弃这些习题的版权,任何人可以传播,出版,修改这里的习题. 如果您出版了我的习题,请在书本中感谢我的努力就可以了.
- 我不提供习题的答案,但是提供习题的解题思路,以及习题的背景, 有些时候会提供部分有价值的参考文献.
龚明
题目:
量子力学系统中哈密頓一定是Hermit的吗? 所有学习过量子力学的人都认为"必须的". 线性代数中明确指出Hermit的矩阵的根都是实数. 但是其实下半句是非Hermit的哈密顿的根也可能是实数，只是没有明确说出来而已. 物理学可以证明，如果一个系统满足PT对称性，那么它的根可以是实数， 而这类哈密頓其实在自然界也存在， 只是很少数而已. 作为习题，题目如下:
1. 在物理学领域，有很多人研究具有PT对称性的哈密頓的性质， 并且在实验上确实找到了这样的哈密頓系统.
2. 当考虑系统和环境时，所有的哈密頓都是非Hermit的，但是它们的根都是实数.
题目:
量子力学系统中哈密頓一定是Hermit的吗? 所有学习过量子力学的人都认为"必须的". 线性代数中明确指出Hermit的矩阵的根都是实数. 但是其实下半句是非Hermit的哈密顿的根也可能是实数，只是没有明确说出来而已. 物理学可以证明，如果一个系统满足PT对称性，那么它的根可以是实数， 而这类哈密頓其实在自然界也存在， 只是很少数而已. 作为习题，题目如下:
- 证明 $H = p^2 - (ix)^N$, 其中$N > 2$的所有根都是实数.
- 证明 $H = p^2 +x^2+ iax$ 的根什么时候是实数，什么时候是复数.
- 解释为什么任何哈密顿的根必须是实数? 其答案很简单: 只有实数，才能保证演化过程中的演化算子是unitary的，否则， 演化算子可能发散.
- 正交性和完备性是量子力学的基本假设. 回答问题，PT对称非Hermit哈密頓的根是正交的吗，完备的吗?
1. 在物理学领域，有很多人研究具有PT对称性的哈密頓的性质， 并且在实验上确实找到了这样的哈密頓系统.
2. 当考虑系统和环境时，所有的哈密頓都是非Hermit的，但是它们的根都是实数.
解题思路:
1. 参考谐振子的解法， 适当时候需要做数值计算.
2. 在做数值计算的不能， 不能用求Hermit矩阵的子程序.
3. 重新复习量子力学的基本假设，理解哈密顿系统的性质， 和PT系统比较.
题目意义: 解放思想， 不要认为哈密頓一定得是Hermit的，这是两个概念, 不是等价的. 在很多书本上默认是等价的，或者没有明确指出"哈密頓是Hermit的只是假设", 这些都是不足的，对学生有一定的误导. 绝大部分的老师也没有明确指出它们的差别.
参考文献:
1. Carl M. Bender, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501052
2. http://www-astro.physics.ox.ac.uk/~ddarg/shtml/PTSymmetry.shtml
1. 参考谐振子的解法， 适当时候需要做数值计算.
2. 在做数值计算的不能， 不能用求Hermit矩阵的子程序.
3. 重新复习量子力学的基本假设，理解哈密顿系统的性质， 和PT系统比较.
题目意义: 解放思想， 不要认为哈密頓一定得是Hermit的，这是两个概念, 不是等价的. 在很多书本上默认是等价的，或者没有明确指出"哈密頓是Hermit的只是假设", 这些都是不足的，对学生有一定的误导. 绝大部分的老师也没有明确指出它们的差别.
参考文献:
1. Carl M. Bender, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501052
2. http://www-astro.physics.ox.ac.uk/~ddarg/shtml/PTSymmetry.shtml
https://blog.sciencenet.cn/blog-709494-625908.html
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