物质和波的最小作用量原理

龚明，中国科学技术大学

我们知道，物质的运动由牛顿方程描述，而牛顿方程又可以由最小作用量（least action）来确定。这就是所谓的哈密顿原理。这个原理说的是对于非含时驱动的物体，其运动方程由下面的约化作用量（reduced action）描述\begin{equation}S = \int pdq, \quad \delta S = 0.\end{equation}假设该物体沿着某条路径（path）运动，这个作用量可以改写为\begin{equation}S = \int pdl, \quad \delta S = 0.\end{equation}其中$dl$为运动距离。此外，几百年前，费马就确定了光的折射所满足的最小光程原理\begin{equation}S = \int n dl, \quad \delta S =0.\end{equation}这二者之间有相似的关系。如果我们把$p\sim n$，就可以认为光和物质的传播遵循相同的规律。哈密顿最早意识到了这个关系。在一些教材中，也的确是用这样的类比来描述这个关系。其实可以更加彻底一点。这是因为在量子力学中，光的动量和折射率之间满足\begin{equation} p = {h \over \lambda} = {h \over v T} = {h\nu \over c/n} = {h\nu \over c} n. \end{equation} 这个公式中, $h$是普朗克常数, $c$为光速，$n$为折射率，$\lambda$为波长。这样，上面的两个方程是完全一致的，物质和波遵循相同的最小作用量原理。此外，如果$n = 1$（对应真空折射率），这个关系就变成了爱因斯坦的质能方程$E = h\nu = pc$。1924年, de Brogile看到了费马、哈密顿和爱因斯坦的工作，意识到了他们的理论的关系，写了著名的物质波方程 $p = h/\lambda$。这个物质波理论又可以很好地解释玻尔（Bohr）的原子模型，即量子化条件由驻波决定。我在以前的一篇文章中提到光折射定律也可以由动量守恒确定，它也预示这光的动量满足$p \propto n$的关系。物理学史的发展真有趣，这些最简单、最重要的结论，居然是以这样的方式被发现。科学发现就像在玩一个拼图游戏，de Brogile是幸运的，他找到了最关键的一块拼图。科学发现又像一场足球比赛，de Brogile是那个接到传球并射门的人。

【注】：2022年上《理论力学》，我就意识到了这个结论，并在课堂上讲解了它。今年讲了第二次，并做本文的总结。一些教材提到了两个最小原理的关系，但没有点破，本文旨在点破这层关系。反思这段历史，有一个重要的体会，即科学的发展需要各种猜测，而不是完全依靠逻辑演绎和实验证明。