关于一维纳米线中的电导公式的一个注记

龚明，中国科学技术大学

一维纳米线的电导公式一般写成\begin{equation*} G = N e^2/h, \end{equation*} 其中$e$, $h$分别为电子电荷和普朗克常数, $N$是能带数（考虑自旋简并的情况）。这个公式即著名的Landauer公式（1957年，1985年）。这个结果表明，一维纳米线的电导和粒子数密度无关，电子质量无关，是一个普适常数。这个结论简洁、漂亮，而且有重要意义； 本文总结和说明这个结论。这些结论最早由Landauer, Imary等人在1986年完成的，并在1990年代左右被推广到了Luttinger液体中。

我们在纳米线中会遇到很多能带，但是从Landauer公式，它们是可以加起来的，即不同能带对电导的贡献是可加的。所以下面只需要考虑一个能带的情况。我们从电流的基本公式出发\begin{equation*} I = n_+ e \delta v, \end{equation*}其中$n_+$为该能带向右运动的电子密度（$v > 0$的那部分粒子，见下图）【注：第一次推导的时候我考虑的是所有电子$n=n_+ + n_-$，而不是$n_+$，所以得到的结果总是相差一个$1/2$； 在Wharam的论文中明确提到，$n$ is half the number of carriers per unit length】，$\delta v$为电压导致的费米面速度改变。这个图像假设所有正向运动的电子都参与了对电流的贡献。我们有\begin{equation*} n_+ = {1\over 2} \sum_{|k|< k_F} = k_F/(2\pi) = m^* v_F/(2\hbar \pi). \end{equation*} 令$E_F = \hbar^2 k_F^2/2m^* = m^* v_F^2/2$，如果考虑外势，它对费米面的改变为\begin{equation*} eV = m^* (v_F+\delta v)^2/2 - m^* v_F^2/2 = m^* v_F \delta v. \end{equation*} 这样得到 \begin{equation*} G = e^2/2\pi \hbar =e^2/h. \end{equation*} 这个结果表明，每个能带会给出一个量子化的电导；如果考虑$N$个能带（每个能带可以有不同的粒子数密度$n_+$、有效质量$m^*$费米面速度$v_F$），就给出本文的第一个公式。它等价于每个能带的电阻并联在一起，所以参与的能带越多，电阻越小，电导越大（见下图）。可以证明，$m^* \delta v^2/2$这一项对电阻贡献为$\delta R = heV/8e^2E_F$，所以它对电阻涨落的影响为$\delta R/R = eV/4E_F \sim 10^{-4}$，可以忽略不计。

这个结论的推导依赖于电子的抛物色散关系，并且不考虑相互作用---但是在具体材料中，相互作用是无可避免的。对很多半导体材料而言，电子密度较小（$n \sim  1/100$ nm$^{-1}$），电子相互作用可以折合到质量上去，而这个电导和质量无关，所以可以得到上面的公式。可是，对于一维系统而言，我们知道任何微小的相互作用都会让这个系统偏离费米液体的准粒子描述，而变成集体运动模式的Luttinger液体。从量纲分析看，$G \propto e^2/h$，所以这个系数应该是无量纲的；而相互作用Luttinger液体的唯一无量纲参数是Luttinger参数$K$，所以我们可以猜测\begin{equation*} G = K e^2/h. \end{equation*} 这个公式在Luttinger液体理论提出来后（1981年，Haldane），很快就被用在一维系统中（包括Hall效应的边界态等），并得到了广泛讨论。对吸引和排斥费米子，对玻色子而言，以及对这些模型的无序系统，这个结论都是成立的。

最后, 我们可能会问，这个结论为什么是正确的？假设电导满足$G \propto e^2/h$，那么这个无量纲的系数有没有可能和其它参数有关？比如有效质量$m^*$，费米面速度$v_F$，粒子数密度$n_+$? 如果扣除电荷、普朗克常数，我们没有办法将有效质量、费米速度和粒子数密度结合在一起，构成一个无量纲的物理量。所以从量纲分析来看，这似乎也是唯一允许的公式。但是Luttinger液体中，费米速度$v_F$，Luttinger参数$K$等都和相互作用有关，这是另外一个故事了。一些细致的理论计算甚至表明，如果将纳米线和一个费米液体的电极（Leads）相连，假设纳米线和金属电极的Luttinger参数分别为$K_W$和$K_L$，计算这个耦合系统的电导可以得到\begin{equation*} G = K_L e^2/h. \end{equation*}也就是说，这个测量到的电导和纳米线的Luttinger参数无关，它完全由电极的Luttinger参数决定。这个结论非常强，也给实验上测量Luttinger参数带来了一些挑战。如何在实验上精确测量这个参数，调控它，并讨论它和系统参数的关系，目前都还不清楚。

这个理论在很多系统中得到了广泛应用，包括半导体纳米线、各种不同的一维结构（包括石墨烯、碳纳米管、以及各种一维超导体等），以及Hall效应的边界态等。测量Luttinger液体的行为，目前依旧是量子输运和量子模拟的重要内容，所以这个结论今天依旧有重要价值。

最后强调一点，这个结论和Hall电导（即著名的TKNN数）非常相似，它们都是整数。但是在Hall电导中，它的整数特性有拓扑解释，此处没有；此外，TKNN数不会受到无序和弱相互作用的影响，但对于Luttinger液体，它会受到影响，即Luttinger参数 $K$。也许在实验上系统测量不同材料的$K$，可以给我们带来新的认识。

（图片来自网络PPT：Electronic Conduction of Mesoscopic Systems and Resonant States. Naomichi Hatano Institute of Industrial Science, Unviersity of Tokyo. Collaborators: Akinori Nishino (IIS, U. Tokyo) Takashi Imamura (IIS, U. Tokyo) Keita Sasada (Dept. Phys., U. Tokyo) Hiroaki Nakamura (NIFS)）

这张PPT，注意两个细节：1）$v > 0$，即考虑向右运动的电子；2）注意可能有多个能带。这张PPT中对电导$G = I/V$的证明和正文稍微不同，但本质是一样的。

（来自文献Wharam et al, 1988，这个结果清晰呈现了量子化电导，即$R = 1/G \propto 1/n$。)

参考文献：

1. D. A. Wharam et al, One-dimensional transport and the quantisation of the ballistic resistance, 1988 J. Phys. C: Solid State Phys.  21, L209.

2. Lydia L. Sohn et al,  Mesoscopic electron transport, 1996.
   

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