超导理论的对角化需要用到Bogoliubov变换。这个方法对一般初学者较为抽象，尽管计算起来比较容易。在上《计算物理》的时候，我采用另外一个方法求解，可能会更加直观和清晰。为此，考虑下面的模型\begin{equation*} H = \epsilon (c_{k\uparrow}^\dagger c_{k\uparrow} + c_{-k\downarrow}^\dagger c_{-k\downarrow}) + \Delta (c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger + \text{h.c.}). \end{equation*}为了方便起见，我们定义$a =c_{k\uparrow}$, $b = c_{-k\downarrow}$，这样它可以变为下面的方程\begin{equation*} H = \epsilon (a^\dagger a+ b^\dagger b) + \Delta (a^\dagger b^\dagger + \text{h.c.}). \end{equation*}在量子光学中，我们也经常见到这样的方程。这个模型的希尔伯特空间为$|00\rangle$,  $|10\rangle$, $|01\rangle$, $|11\rangle$。显然，$|01\rangle$和$|10\rangle$是哈密顿的本征态，其本征值为$\epsilon$。剩下的两个态会通过配对耦合。假设其本征态为$|\psi\rangle = x|00\rangle + y|11\rangle$，那么有\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & \Delta \\ \Delta^* & 2\epsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = E \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \end{equation*} 这个方程的解很简单，我们有$E = \epsilon \pm \sqrt{\epsilon^2 + |\Delta|^2}$。这样，我们得到它的四个本征值，其中基态能量为 \begin{equation*} E_g = \epsilon -\sqrt{\epsilon^2 + |\Delta|^2}.\end{equation*} 这个结果和Bogoliubov变换的求解是一样的，但是理解起来会更加容易。

上面的哈密顿是怎么来的呢？我们知道对费米子而言，散射只发生在费米面附近，而在散射过程中，必须满足动量守恒和能量守恒，所以最有可能的散射---吸引情况下占主导的---是上面的总动量为零的态之间的散射（即动量为$\pm k$的两个粒子被散射到状态 $\pm q$）。这个散射自然满足能量守恒。这个图像可以见李正中的《固体理论》。在推导第一个公式的时候，我们忽略了那些导致复杂关联，但又不是在费米面附近的散射过程。为什么可以这样呢？关于平均场理论的注记，我们会在另外一篇文章中单度讨论。

前几天上《计算物理》（2022年11月2日 - 11月7日），系统介绍了Bogoliubov变换理论和Holstein-Primarkoff（HP）变换以及在磁性中的应用。在上课的时候我就一直在思考，如果我不采用这个变换，可以计算这个问题吗？于是构造了上面的解释。这个方法在教学和实践上有一定的优势，它让我们可以更加直观地理解波函数和本征值，而且少了很多复杂的计算。对于玻色子而言，这样的处理也是可以的，但是要复杂一些；在这个注记中我就不展开讨论了。

补充一点历史：1940年HP两人在研究自旋波的时候就用到了上面的变换，1947年Bogliubov在论文系统研究了这个变换，但是其重点不是磁性，而是超流现象。1957年BCS理论提出，其中也需要用到这个变换，1958年，Bogliubov写了一篇文章，介绍这个理论在超导方面的应用。在做科学研究的时候把这段历史弄清楚会非常有趣。

参考文献：

1. N. N. Bogoliubov: On the theory of superfluidity, J. Phys. (USSR), 11, p. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, p. 77 (1947)).

2. Valatin, J. G. (March 1958). "Comments on the theory of superconductivity". Il Nuovo Cimento 7 (6):  843–857.

3. Bogoljubov, N. N. (March 1958). "On a new method in the theory of superconductivity". Il Nuovo Cimento 7 (6):  794–805.

4. https://handwiki.org/wiki/Physics:Bogoliubov_transformation