科学为什么不能完全建立在公理体系基础之上？

龚明，中国科学技术大学

费曼《物理学讲义》第一卷第一章《原子的运动》中，作者提出了这样一个问题：在介绍欧几里得几何的时候，我们可以先陈述公理，然后做各种推导，为什么在物理学习/教学中我们不能这么做呢？这个问题值得更加仔细讨论，因为对化学、生物等，我们也可能面临类似的问题。即便是物理，我们认为它是最接近公理体系的学问，像数学一样处理它也是不现实的。

（来自费曼物理学讲义第一卷第一章）

费曼提出了两个理由。第一、我们还不知道所有的物理学定律，未知领域的边界在不断扩展；第二、叙述物理学定律需要涉及一些陌生的概念，有些还涉及一些高等数学。也就是说，物理学在教学中需要大量的预备性知识。作者对这些理由阐述较为简略。但是它是一个重要的问题，本文对这个观点做一些更加细致的补充。

这个答案如果要展开解释，就需要回到什么是物理，以及判断物理结论正确的标准是什么。数学中有严格证明，这是数学的标准。对于实验物理学而言，其答案比较简单，即物理是一门实验科学，应该以实验观察为唯一标准。既然是实验科学，既意味着它不可能是精确的，也意味着它在不同的环境下可以得到不同的结论。迄今为止的所有实验，都不可避免地存在误差、以及多种外界因素的影响（或者和外界环境有物质、能量交换等），同时也涉及到我们认知的不足。所以，物理不可能是一门像数学一样精确的学问，随着时间的推移，很多理论会被不断修正。这是它的本性决定的。其它实验科学也是类似的。对于化学、生物等学科，它们和实验的关系更加密切，则更难做到精确，也就谈不上数学化和公理化了。

那么，物理教材要如何介绍物理呢。尽管物理是一门实验科学，理论在其中扮演了非常重要的角色。没有理论的指导，物理这门学科可能走不了多远。在物理中，只有少数理论是可以建立在公理化体系的基础上的，而绝大部分理论是建立在经验观察和一些简化公式的基础上的（比如各种有效理论），并且涉及大量的近似。下面的公式对我们理解物理的现状是有帮助的，\begin{equation*}\text{物理 = 数学 + 模型 + 近似}. \end{equation*} 这个公式告诉我们，要学习好物理，需要重视模型的建立，需要有好的数学，同时需要善于做近似分析。可见，物理不是简单的公理化体系。在物理中，近似是最为玄妙的，有些近似，甚至没有任何实验上的理由，纯粹是出于理论计算的方便。比如我们经常会假设某个物理量（速度、质量等）无穷大，从而抓住主要项，忽略其它不重要的项。

更重要的是，任何一个理论，都是另外一个理论的近似。很多人喜欢思考量子力学、相对论等大的问题，在理想情况下，它们的确很简洁、漂亮，接近公理化体系。但是和我们生活密切相关的那些知识，哪个不是“多体”问题呢？ 以电子为例。在固体物理中，电子在晶体中的运动，就不可避免涉及电子-电子以及电子-晶格的相互作用；同时还存在缺陷、杂质以及温度效应等。固体中的万有理论（见下图）---假设可以写出来，并且是正确的、严格的、完全的---在任何一个情况下都无法求解。所以，为了求解这些问题，我们不能不做各种近似。而在不同层面的近似，就给出了我们的丰富的物理现象---绝缘体、超导体、金属、半导体、磁性等。

关于这个近似，让我们回顾一下Landau在《力学》的序言部分的讨论。在我们的物理中，物理定律并没有绝对精确的要求。不太精确的理论和精确的理论是长期并存并和谐相处的。这些近似理论，都在某个精度上得到了实验验证。在物理理论中，如果我们将很多非重要因素全部考虑进去，不仅可能会让理论毫无价值地复杂，同时会导致存在的现象中的规律被掩藏和忽视。比如现在我们都知道，牛顿力学不是精确的，更加精确的描述应该是狭义相对论。但是对地球上的绝大部分物体（包括发射的卫星、导弹，以及高速飞行器等），它们的速度是远小于光速，所以我们还是采用牛顿法计算这些问题。如果我们采取相对论理论，这个计算将无比复杂，甚至哪怕是最简单的抛物运动也可能是完全不能解析计算的。这样，一些简单的物理规律就被掩藏了起来，观察不到了。相反，如果把复杂的模型/理论简化，讨论近似模型，它们可以严格求解，这样我们可以很容易抓住这些问题的本质。

我在上《理论力学》的时候，会非常强调近似的重要性。对于大二的学生，刚接触理论物理，会迷惑于其抽象的理论和各种复杂的近似。这才是物理学的精髓。一方面，这些理论很普适，可以处理各种现象；另外一方面，它有大量的非线性方程，所以需要在各种近似下才能求解。在实验上，也只有在特殊设计的实验条件下，才有可能检验这些理论的预言。

如果我们到实验室走走，就会发现，哪个实验不是通过精心设计，去除各种条件的干扰，才能得到简洁、漂亮的关系的呢？ 同时，同一个现象，在不同的实验条件下，也会得到不同的结果。实验如此，理论也如此。而科学，就是要在这些纷繁复杂的现象中提取出它们背后最本质的规律。由此，学习物理的时候，初学者要明白应该把重点放在哪里。

来自Laughlin的《万有理论》

参考资料：

1. 费曼《物理学讲义》第一卷

2. 朗道《力学》原序（1940年）

本文出发点：第一、费曼提出的为什么不能公理化体系教学的问题；第二、Landau在序言中对物理中的近似的讨论；第三、结合我自己在讲课中反复强调近似的重要性。本文主要讨论物理的近似以及它们的必要性；但这个结论适合于所有科学分支，包括生物、化学等。

上面的公式的一段小插曲：大学的时候，我曾经问过秦加桦老师一个问题，即为什么物理有那么多近似。助教在旁边嘟囔了一句，物理 = 模型+数据+近似（他好像把这句话写在黑板上），从此忽然大悟、茅塞顿开。可惜我忘记他的名字了。 所以我上课会反复强调这个公式。

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