延迟方程的解和它的不稳定性

龚明，中国科学技术大学

在科学问题中，大家经常讨论延迟问题和延迟相关的方程。比如，在反馈系统中，我们可以有延迟反馈。那么它有什么性质呢？我以前的确关注过这个问题，觉得它是一个有趣的数学问题。它们无法用我们通常的方法求解。它们的严格解是很少的。这是一个小众，但是总有人研究的方向。在力学中，常见的二阶微分方程会有简谐振动。那么这些方程存在类似的简谐振动吗？

今天在家思考这个问题，忽然灵光一现，我可以尝试着求解一些简单的问题，并借此获得它的基本性质。为此，我考虑下面的方程\begin{equation*} y''(t) + A y(t-t_0) =0. \end{equation*} 假设这个方程的解为$y = e^{iwt}$，得到超越方程\begin{equation*} -w^2 + A e^{-i w t_0} = 0. \end{equation*}对于任意给定的$A$和$t_0$（假设为实数），这个方程总是有复数解。但是这个复数解往往伴随不稳定性，即$y$会发散。我们在下图中给出了一些数值解，如果存在延迟（$t_0 \ne 0$），这个解就立刻不稳定。

这个性质普遍吗？我们另外考虑一个扩散方程\begin{equation*} y'(t) = -k y(t-t_0). \end{equation*} 假设$y = e^{-a t}$，则\begin{equation*} a = k e^{a t_0}. \end{equation*}这又是一个超越方程，很难求解。它的解往往也是复数，比如$t_0 = 1.4$时（设$k=1$）, $a = 0.0584 - 1.08 i$，$t_0 = 2.4$时，$a=-0.127 - 0.73i$。所以其解也可能是不稳定的。这个模型还有一个特殊的性质，即$k < k_c$时，其解可能是实数的；否则是复数。取$k = a e^{-a t_0}$，令$dk/da = 0$，得到$a=1/t_0$。

综合前面的结果，我们可以猜测，延迟方程的不稳定性，是其基本特征。此时，它们的简谐振动和一般的扩散行为可能会被立刻破坏。那么，如果我们需要描写一些不稳定的行为，是否可以用延迟方程处理呢？

延迟方程的数值结果和本征值

2022年11月3日，疫情被困家中，胡思乱想，顺便做了一个模拟，得到了上面的结果。这类方程有什么用，它们是否满足所谓的拉格朗日方程，我就不知道了---这些模型非常简洁，但是缺乏明确的物理/科学方面的应用，所以限制了它们的发展。我猜测有人反其道而行之，研究这些方程的稳定解。所以暂时把这个解和分析过程记录下来，以后慢慢思考。

补充：写完后，看到下面的链接的文章“洗澡的时候水温把握不住？可能是你没有学好数学”

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1701360228667579331&wfr=spider&for=pc

这是一篇翻译文章，原文作者Chris Budd，题目“The shower equation: Dealing with delay“，来自下面的链接

https://plus.maths.org/content/shower-equation

这篇文章将这种不稳定性和热水器水温问题、气候问题、Covid-19问题等等联系在一起，倒是别开生面。那么，是否很多大的系统，一旦从小的范围看，都等效于这样的延迟问题呢？

Chris Budd好像写了不少科普文章，见下面的截图（只是其中一部分）

第二天补充新的内容：今天看到在同步Kuramot模型中引入延迟，也会出现不稳定性；这似乎是显然的。