《经典力学》札记： 31 （微振动）

龚明，中国科学技术大学

这篇札记（31）专门讨论微振动和相关的物理。课堂上，我主要讲解Landau教材的“微振动”一章（第五章），并稍微介绍这些知识在其它领域（工程、机械、桥梁、汽车、航空等领域）的应用。本文是教学中的总结和思考。

这一章的内容多，重要的物理概念多，涉及的近似多，计算复杂，让初学者眼花缭乱。我花了三个礼拜的时间（6次课，9个小时）才将它讲完。学生在学习这些知识的时候，也是非常辛苦的。Landau的书对这部分的讨论非常精彩，环环相扣，层层递进，并且充满直觉和智慧；但是往往跳跃性较大，忽略的细节多，所以在学习的过程中，学生需要做比较多的推导。关于物理概念的直觉，是我在讲课过程中最希望讲明白，并反复强调它们的重要性，强调它可能来自生活经验，也可能来自想象力，也可能来自研究经验，但又是我最无法讲明白的东西。为了让学生更好地理解这些概念，我不得不现场用Mathematica对这些非线性方程做一些数值模拟。

1. 为什么考虑微振动？

在广义坐标下，我们见到的方程一般都是非线性方程，它们一般都是不能求解的。但是很多物体系统的振动，尽管它们非常复杂，一般都表现出很好的周期性（比如生活经验就往往如此）。在微振动下，这些运动一般都会给出简谐振动，其振动周期可以直接用来确定系统的某些参数。微振动非常好地体现了物理的近似，所以被广泛应用在科学的每个领域。可以这么说，不会做近似分析，就学习不好科学。所以学生在学习过程中，需要培养用近似方法分析各种复杂问题的意识。

2. 微振动的主要内容

微振动可以分为如下几个典型的相互作用：A）$\ddot{x} + \omega_0^2 x$，它代表周期运动；B）外界驱动$f(t) = f \cos(\gamma t)$，它代表受迫共振；C）耗散/阻尼，$2\lambda \dot{x}$，它代表能量耗散； D）非线性效应，$\alpha x^2 + \beta x^3$，它改变系统的频率，也可能会导致共振，也可能导致双稳现象； E）参量共振，$\omega_0^2 h \cos(\gamma t) x$，它导致参量共振；F）多个分量，比如$x_i$（$i =1$, 2, $\cdots$），它和很多实际物理模型有关； G）Karpitza单摆，它代表动力学稳定性（Dynamical stability）；等等。它们的组合，给出丰富的物理过程。这些组合包括AB，AC，ABC，AD，AE， AF， ABD，ABCDEF，等等。这样的组合可以给出几十种不同的物理模型。在实验上要确定所有这些参数，还是非常困难的。Landau的教材中只讨论了其中一些典型的运动。在讨论非线性过程时，Landau没有讨论混沌、Lyapunov指数等，但在有些教材中会讨论这些非线性物理，比如科大的《经典力学》教材会有专门的章节介绍这些内容。在量子光学和非线性光学中，我们会讨论这些非线性物理导致的多波混频效应等。

这些理论可以直接应用在具体的问题中，比如发动机的振动、汽车的振动、桥梁的振动，等等。我在调研过程中发现，连轴承转动发出来的刺耳的尖叫，也可以用这些方程描述。在量子物理中，它们可能描述纳米线的振动（见下图）、冷原子的振动、自旋波的振动、超导Josephson结等。比如，通过对磁场的周期性调节，科学家可以在磁性系统中实现自旋波的参量共振。可以这样说，目前对这些系统的研究，还是没有完全研究透彻，尤其是进入量子领域。

经典振子和量子振子可能会展现很大的差异，目前的实验需要将振子的温度降低（比如利用边带冷却），才能观察到这些模型的量子行为。我暂时没有系统总结这个方面的进展，尤其是它们是如何过渡的。但是我知道这是不少人的研究重点。它们的过渡行为会如何，我认为也是一个有趣的问题。

3. 多重尺度分析方法（Maltiscale analysis）

如果要理解这些非线性问题，需要采用多重尺度分析方法。Landau的教材对这一块没有讲述得非常清楚，但其分析本质上是这个方法。尽管Landau的书很好，我们不能将它就完美。为此，我补充了这些内容，这样可以更好地理解这些物理。

考虑下面的模型\begin{equation*} \ddot{x} + \omega_0^2 x + \epsilon(\alpha x^2 + \beta x^3) = f \cos(\gamma t). \end{equation*} 我们可以假设$\tau = \omega t$，其中$\omega$待定。进一步假设$x = x_0 + \epsilon x_1 + \epsilon^2 x_2 + \cdots$，以及$\omega = \omega_0 + \epsilon \omega_1 + \epsilon^2 \omega_2 + \cdots$，代入上面的方程，计算$\epsilon^k$的系数，让它们为零，则可以得到一系列方程。这个分解是完全的，不存在任何丢失的项。

这些计算的最重要的结论是：低阶项是高阶项的驱动。这样，无可避免地，会出现共振现象；如果我们的驱动频率和系统振动频率一致。但是既然存在非线性效应，$x$不可能无限扩大，也就避免了共振的发生。所以为了消除这个发散，我们要求不存在共振驱动，这样我们可以确定$\omega_i$（$i \ge 1$）的值，从而消除发散。这个方法可以保证任意阶的发散都是可以消除的。

注：在这里，我一直有一种直觉，即多重尺度分析和重整化有很多密切的关系。它们都是一阶一阶地展开，并努力消除发散（费曼图发散、或者共振）。在数学上，的确有很多人利用重整化方法讨论非线性微分方程的动力学问题。此处不深入讨论。

多重尺度分析是研究分线性振动的标准方法。它的重要特点是频率也和$\epsilon$有关，否则，是无法消除共振的。即便是侥幸消除了低阶项的共振，有不能保证完全消除高阶项的共振。另外，在实验上，频率也和非线性系数有关，所以客观要求我们改变振动频率。从这个角度，$\omega = \omega_0 + \epsilon \omega_1 + \epsilon^2 \omega_2 + \cdots$有其实际物理上的原因。但是这些数学背后可能有丰富的数学结论，就已经超过我暂时的认知了。

（来自网络，Multiple scale analysis, wiki; 如果不考虑频率改变，一定会导致共振（见Eq. 7）)

4. 参量共振和受迫共振的关系

一般来讲，我们不会认为它们有什么关系。它们的模型不同，计算方法也不同。但是如果从微扰角度，它们又是有关系的。考虑下面的模型\begin{equation*}\ddot{x} + \omega_0^2 (1 + h \cos(\gamma t)) x = 0.  \end{equation*} 我们可以考虑$x = A \cos(\omega_0 t) + x_1$，那么$x_1$可以感受到来自$\cos(\gamma t)$的驱动，从而可能给出共振。当然，随着$\gamma$的不同，这种发散有可能来自高阶微扰。所以我暂时认为，尽管这两个模型的物理看起来完全不同，参数共振可以认为是高阶微扰的受迫共振。这是一个有趣的结论，但是很多教材都没有这个结论。

参量共振的模型很多，在一些文献中，甚至还考虑了下面的模型\begin{equation*} \ddot{x} + \mu \dot{x} + \nu x^2\dot{x} + (\beta + \delta \cos(\omega t)) x +\gamma x^3 = F \cos(\omega t). \end{equation*}并在实验上（比如石墨烯纳米线中）检验这些模型。我对这个模型是否真的如此还是有一些疑问，主要原因是为什么没有$x^2$项；但我们看到，现实生活中，物理系统比我们的教材的模型要复杂得多（见上面A，B，C，D，E，F，G等的组合）。我们不能简单套用教材中的结论。

（来自文献Robin J. Dolleman et al, Opto-thermally excited multimode parametric resonance in graphene membranes， Sci. Rep. 2018.）

（来自https://galileo-unbound.blog/2020/09/14/up-side-down-physics-dynamic-equilibrium-and-the-inverted-pendulum/）

5. Karpitza单摆和动力学稳定性（Dynamical stability）

这个问题最早由Andrew在1908年提出，并证明它和Mathieu方程有关。1955年, Karpitza给出了一个简单的解释，从此，dynamical stability（动力学稳定性）成了一个经典力学中一个重要的研究方向。Karpitza考虑的模型如下\begin{equation*} \ddot{\theta} + \gamma \dot{\theta} + (\omega_0^2 + a^2 \cos(\omega t)) \theta =0. \end{equation*} 考虑一个快变量和一个慢变量，消除快变量，就可以得到慢变量了。这是一个非常好的思想。这个方程可以很容易做数值模拟，并证明其稳定性。我们检验过，这个边界和理论结果的预言是非常接近的（误差可以小于1%）。Karpitza是一个伟大的实验物理学家，1933年他发现了超流，后因此获得了Nobel物理学奖。他对这个问题的讨论，足见其深厚的理论功底和物理直觉。

（对Karpitza单摆的数值模拟；此处考虑稳定振动情况）

我们可以考虑一个高阶效应，此时需要假设快变的部分为\begin{equation*}\theta_f = \sum_{n \ge 1} c_n \cos(n \omega t). \end{equation*} 这样我们可以得到一个很复杂的表达式。它和上面（或教材）的解析结果非常接近。但是在有些时候，它可能有较大误差。

最近我看到一篇文章，将单个单摆的情况推广到多个单摆的情况，其所谓的many-body pendulum模型。它和Sine-Gordon模型有关。所以，即便在纯物理领域，这个问题看来还有很多人在研究。现在有人研究冷原子中的Karpitza单摆（我把这个题目作为《计算物理》学生的作业）。此外，很多人讨论各种哈密顿的Floquet动力学，也应该属于这个类型。

(来自文献, Roberta Citro et al,  Dynamical stability of a many-body Kapitza pendulum, Ann. Phys.http://dx.doi.org/10.1016/j.aop.2015.03.027）

6. 总结

微振动充分体现了我们对复杂系统的研究所采取的基本方法，也就是我们通常说的近似处理。对学生来讲，如果掌握了这个方法，并好好体会，可能对他们未来学习其它课程会有很大帮助。我经常提到下面的公式\begin{equation*}\text{物理 = 数学 + 模型 + 近似}. \end{equation*}可见近似的重要性。微振动是最常见的近似形式，任何模型都可以做微振动分析。基于它的重要性，本课程将安排一些小论文，学生需要阅读一些论文（比如硕士论文，或者博士论文），并了解这些近似方法在各个领域（尤其是工程学）中的具体应用。我们会看到它的重要价值。

最后对理论力学教师的建议。微振动的内容太重要了，所以我们在这一部分的教学，一定要理论联系实际，介绍它们的具体应用。

参考文献：

1. Stephenson Andrew, “XX.On induced stability”, Philosophical Magazine, 1908.

2. P. L. Karpitza, “Dynamic stability of a pendulum when its point of suspension vibrates”. Soviet Phys. JETP. 1951.

3. 多重尺度分析，http://www.scholarpedia.org/article/Multiple_scale_analysis 

4. Ata Keşkekler et al, Tuning nonlinear damping in graphene nanoresonators by parametric–direct internal resonance, Nature Communications, 2021. 

5. Roberta Citro et al,  Dynamical stability of a many-body Kapitza pendulum, Ann. Phys. 2015. 

6. Robin J. Dolleman et al, Opto-thermally excited multimode parametric resonance in graphene membranes， Sci. Rep. 2018

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