22. 可积性（Integrability)

可积性是经典力学一个重要的概念，也是非线性方程中的关键概念。可积性，意味着有守恒量（而守恒量对应对称性；常见的守恒量为能量守恒、动量守恒、角动量守恒等），所以可以求解。但是目前，在学术界，对可积性的定义，以及什么模型是可积的，什么情况下不可积，是没有简单判据的，也没有简单的计算方法【此处请教了数学系的教授】。反过来，可解，也不一定完全等于可积性； 比如某些模型的解可以部分求解（或者构造），但不是所有的解都可以求解。

一般而言，可积性，守恒，可解，通常是同时出现的概念；可积性等于可解（反之不正确）。在统计力学中，我们会碰到这个概念，可积和不可积，对应完全不同的统计行为；没有可积性，粒子运动出现混沌现象，它对应各态历经原理，而可积系统则可能没有这个原理。这是因为如果有可积性，则它的运动轨迹可能是局限在某些特定的区域，则不一定遍历所有的态。

在经典力学中，中心力场可能会给出非常复杂的运动。它有两个运动方程，即$x$和$y$的运动方程，方程极其复杂。但是，如果考虑角动量守恒，它可以化简为一个径向方程，从而求解。这样的守恒性在好多模型中广泛存在。此外，在一些非现象方程中，可以构造所谓的Lax对，从而将非线性方程转化为线性方程而求解。量子力学则有Yang-Baxter方程。现在可积性成了数学物理的重要研究内容，我们可以在图书馆找到很多关于可积系统和孤立子解的数学教材。

需要强调，经典模型可解不意味着量子模型可以求解；反之亦然。一些经典的模型，转化为量子模型，其性质可能完全不同。我暂时还没有总结这些不同到底包括哪些。在上课的时候，作为《经典力学》的补充，我重点强调了可积性的性质。为此，我还特定请教了一些数学系的老师，得到了上述没有统一定义的结论。

23. 拉格朗日二次方程和能量守恒一次方程的关系

在一些情况下，我们需要求解

\begin{equation} \ddot{x} = f(x). \end{equation}

这个方程可以化为下面的方程的微分方程

\begin{equation}{1\over 2} \dot{x}^2  = \int f(x)dx. \end{equation}

它们有明确的物理图像，第一个方程来自拉格朗日运动方程，而第二个由能量守恒确定：$m \dot{x}^2/2 + U(x) = E$ 和$m \ddot{x} = -\partial U/\partial x$。在很多情况下，第二个方程可以给出形式上的解，而第一个方程的求解则要复杂一点。但是如果没有能量守恒，则不能这样做；比如$U=U(x, t)$，此时能量不守恒。这些内容，成了运动积分（integral of motion）的重要研究内容；Landau把这个问题提出来，专门有一章讨论这个问题。

24. 椭圆积分和欧拉$B$函数

我们在科学中经常需要接触到这两个函数，但是在一般教材上不会提到。在Landau的《力学》中会提到。椭圆积分首先来自对椭圆弧长的计算，而与之有关的椭圆函数也是复变函数最了不起的成就。在力学中，一个最直接的应用是单摆的振动周期，它对应第一类椭圆函数。椭圆函数是单调的，所以它存在逆。这些函数由一些重要的等式构成。$B$函数是另外一个有趣的函数，它可以写成$B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt$。Landau书中给了一个例子来说明它的应用。这两个函数都有一些渐进行为，在关于这些物理问题的讨论中经常见到。

我在工作中见到过椭圆函数、椭圆积分、$B$函数等的讨论，所以上课的时候我重点强调了这些概念。另外一个在教材中没有明确讨论，但是非常重要的函数是Matiheu（马丢）方程，我在《计算物理》中会重点讨论。关于Mathieu方程的应用，我会在以后的文章中讨论它。在微振动部分，Mathieu方程非常重要，它和共振、Bloch能带等都有密切关系。在上课的时候，我会强调椭圆函数、Beta函数、Hill方程和Mathieu方程等。后面两个方程和微振动有关。

25. 势场中经典和量子周期的区别

假设一个势$U(x)$, 那么经典轨迹对应的周期和量子轨迹对应的周期有什么区别？经典轨迹的周期由如下方程描述$m \dot{x}^2/2 + U(x) = E$, 所以$\dot{x} = \sqrt{2(E-U)/m}$, 所以$T(E)=2\int_{x_1}^{x_2} 1/ \sqrt{2(E-U)/m} dx$。教材中给出了这个方程，但是很少确定其性质，比如$T(E)$和能量$E$的关系等，我们在下面的图片中给了一些数值结果，可以清楚地看到这一点。对于$U=x^2 + 0. x^4$，$E$越大，$T$越小。对于单摆，就恰好相反（见Landau书本）。可见它和$U(x)$的形式有密切关系。

目前我们的教材，没有对这些结果的数值讨论。这是典型的理论思维，对初学者未必好。如果有所讨论，并建立一些图像，可能会更好。比如可以画下面的图。

无论这个能量是什么样子，它都会做周期往复运动。在量子力学中，这个能量不能随便选择。数值结果表明，无论$U$是什么形式，它的本征态几乎是等间距的。这是因为下面的量是守恒的，$I =2\pi \oint pdx$，其中$p = \sqrt{2m(E-U)}$。这个性质有重要应用，即绝热条件，或者Legendre变换。后来，在拓扑相变、（Berry等人的）几何相位中，这个量又变得异常重要了。我会建议学生在学习的时候做一些数值模拟，借此检查自己的结果，也增加对这些问题的认识。

26. 理论教材的缺点

目前的理论教材，通常会推导出一些表达式，并以这些表达式为结论。但是这些表达式代表什么意思，有什么独特之处，数值结果和图像是什么样子，则往往不怎么讨论。其实，一个简单的表达式，可能蕴含丰富的图像，需要仔细分析和讨论---但是它们往往占很大篇幅。学生在学习的时候，要怎么才能避免这个问题呢？下面的图来自Landau的《力学》，这本书写得非常好，但也有类似的问题 --- 对于理论功底很好的学生，这样的处理没有问题，但是对于绝大部分普通学生，它们可能很难从这些抽象的公式中获得需要的东西。

我由此联系到一点，即理论教育的困境。很多学生都害怕纯粹理论的东西，觉得它们抽象，复杂，不好理解，概念也难以掌握。为此，大家不得不通过做大量习题，才勉强掌握它们。这个经验告诉我们，获得第一手数据和经验，对理解一些概念是非常重要的。所以，教学中可能需要尽量避免抽象符号的东西。因此写书的人很熟悉这个图像，而读者需要补充一些没有给出来的东西，上课老师有必要提供这些缺失的东西。

27. 周期$T(E)$能确定$U(x)$吗？

既然$T(E) = 2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)} 1/\sqrt{2(E-U(x))/m}dx$，那么实验测量$T(E)$可以唯一确定$U(x)$吗？答案是可以的，但是这个逆不好求解，对于一些复杂的过程，则可能很难确定。Landau的书中提出了这个问题，非常有趣。

28. 卢瑟福散射和经典力学解释, 以及教学中碰到的困难

（卢瑟福散射，图片来自网络）

在讲授散射的计算以及散射截面的时候，我面临一个困难，即如何解释这个里面复杂的过程和抽象的定义？我不认为目前的教材可以很好地回答这个问题。学生在学习《理论李学》的时候，对卢瑟福散射实验一点概念也没有，所以接受起来会更难。我补充了一些实验的细节。卢瑟福散射实验被认为是最优雅的十个物理学实验之一。

在一个很小的范围内，\begin{equation} dN = n 2\pi \rho d\rho, \end{equation}其中$n$为$\alpha$粒子密度。显然，$\rho$和散射角度有密切关系，因此\begin{equation} \rho = \rho(\theta). \end{equation}利用这个散射角度，我们可以定义立体角$d\Omega = 2\pi \sin(\theta) d\theta$，从而给出微分散射截面

\begin{equation}{ d\sigma \over d\Omega} = {\rho \over \sin(\theta)} |{d\rho \over d\theta}|. \end{equation}

在量子力学和高等量子力学中，散射截面成了重要的计算工具。它也是高能物理的主要实验测量手段。在凝聚态物理中，比如计算光和物质相互作用，我们也会用到这个概念。

29. 经典力学对卢瑟福散射的解释很好吗？

卢瑟福和学生在实验中发现，如果用$\alpha$粒子轰击物质，有1/8000左右的粒子被大角度反射。它采用经典散射的方法，定义了散射截面，并很好地解释了实验的结果。这个做法将量子问题转化为经典处理并得到了很好的解释。在物理上，利用简单模型解释深刻的物理现象，这样的成功例子应该不少。

可是贝特（Bethe）就没有那么幸运了。1947年，Lamb发现了氢原子的精细结构劈裂；马上Bethe给予了解释。它采用一个半经典近似处理，并和实验结果只有百分之五左右的误差。对绝大部分人看来，这是一个很好的近似了---但事实并非如此。后来，Schwinger、费曼和朝永正一朗等人提出来的新方法，才更加彻底地理解了这个实验结果。这个理论后来导致了重整化理论和重整化群理论的提出和发展。所以，不要轻易放过那一点点理论和实验的差别，它可能有深刻的原因。

对卢瑟福散射实验，这个公式还是吻合很好的。未来如果考虑不同粒子之间的散射，尤其是考虑全同粒子之间的散射，这个处理就不好了。卢瑟福实验是值得反复咀嚼的。

30. 从卢瑟福散射到卢瑟福模型，到玻尔模型

卢瑟福很快意识到，要解释他的实验，必须假设原子的质量都聚集在一个半径很小的中心。但是他采取的固体材料的原子由很多电子构成，其实是一个很复杂的系统。玻尔采用了这个模型，但考虑的是最简单的氢原子。这样他可以研究氢原子的光谱---在当时随着光谱学的发展已经得到了很多实验数据。后来，索末菲进一步扩展了玻尔的模型，引入了三个量子数来描述原子光谱，并有经典著作《原子结构和光谱》。这本书影响了很多人，比如费米在读本科的时候就读过这本书（见塞格雷《费米传》，湖南科学技术出版社，P18页）。

卢瑟福散射实验，可能还有另外一层意义。带电粒子之间的相互作用服从库仑定律（$1/r$）；但是这个定律只在尺度很大的情况下得到了检验。从麦克斯韦开始，就有很多实验努力证明这个关系（主要证明$1/r^{1+\eta}$，$\eta < \epsilon$）。可是在原子尺寸或者更小的尺度下，这个关系成立吗？这样的外推可能是很危险的。卢瑟福的散射实验，需要用到这个关系。所以卢瑟福实验可以认为在原子尺度下证明了库仑定律。这个观点，一般教材不会这样讲。但是在牛顿力学中，牛顿假设$1/r$的关系，解释了行星规律和开普勒三大定律，我们认为他发现了这个定律。此处同理。

（库仑定律，图片来自网络）