为什么我们需要使用广义坐标？经典力学第一课，就需要涉及这个概念。理解这个概念背后的逻辑，就显得很重要了。

下图是一个典型的描述，也是很多教材采用的描述方式。因为考虑的是约束系统，所以我们可以采用更少的自由度$q_i$（$i=1, \cdots, s$）来完全确定物体/质点的坐标 $x_i$（$i=1, \cdots, N$），其中$s < N$。但是在教材的范例中，比如太阳-地球运动系统，它没有所谓的约束，我们照样使用广义坐标。可见，这不是一个完全充分的理由。当年我在学习经典力学的时候，也有过类似的疑问。此外，即便这样的描述回答了为什么需要使用广义坐标，它也没有解释为什么需要使用拉格朗日方程。这背后的逻辑，都隐藏在复杂的公式中，需要靠学生自己去领悟。

上课的时候，我会强调上述理由，但是更多的是，我会强调下图第一句话所隐含的意思，即“牛顿力学以直角坐标为描述之点系的变量”。在直角系下，牛顿运动方程的描述会非常简单。但一单考虑到其它坐标系，比如球坐标、柱坐标等，它的表达式就会非常复杂，我们很难直接写出来。我们更不可能用简单的表达式写出来所谓的牛顿方程，即动量的导数等于力。所以，我们需要一套和牛顿力学等价的理论，它在任意坐标系下都可以成立，其形式不改变。这个任意坐标系，自然也包括不同的参考系。拉格朗日方程和哈密顿方程彻底解决了力学的坐标系问题。

拉格朗日方程的推导，可以遵循下面两条等价路径：

第一、从牛顿方程出发，在直角坐标系下写出拉格朗日方程，做坐标变换到其它广义坐标，证明这个表达式在其它坐标系下形式不变【我上课介绍这个方法】；

第二、从牛顿力学出发，写出直角坐标系下的达朗贝尔(d'Alermbert)方程，做坐标变换到其它广义坐标，得到拉格朗日方程【教材多采用这个证明】。

在广义坐标下可以定义广义速度$\dot{q}_i$，广义动量$p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$，和广义力 $f_i = \partial L/\partial q_i$。 尽管广义动量和广义速度已经没有简单的线性关系，我们依旧有类似牛顿第二定律的关系：$\dot{p}_i = f_i$，即广义力等于广义动量的时间导数。在拉格朗日方程中，我们可以很自由地在任意坐标系下做变换，而不用担心其形式的变化。在场论中，我们还需要通过傅立叶变换将坐标转移到动量空间表示，其形式依旧不变。

牛顿力学很难处理一些复杂的运动---不是说不可能，但是它非常复杂。广义坐标解决了这个困难，允许我们处理更加复杂的运动，而不会牵扯太复杂的计算。它可以很方便地处理有约束的系统，也可以很方便地处理没有约束的系统。通过选择合适的坐标，可以找到系统的守恒量（比如角动量守恒等），从而大大化简整个计算过程。这是这个理论最美妙的地方。

注：本文是对力学札记17的补充。