17. 从坐标，动量到广义动量，广义坐标（Generalized coordinates）

学习力学，首先需要接触到的是广义坐标和广义动量的概念。这个广义对应英语单词generalized。Landau教材第一节（第一节）就介绍广义坐标。这是因为我们的很多运动都是被约束在一些特定的空间的，比如尽管单摆可以在二维平面摆动，这些运动有摆绳的束缚，所以它的所有运动可以用一个角度来描述。对单摆，角度$\theta$就是广义坐标。一个球在一个碗中运动，尽管是三维的，可以用两个坐标描述其位置。广义坐标其实是描写运动状态所需要的变量，它不一定有长度单位，比如角度就无量纲。广义坐标非唯一，它可以任意选择。这个广义坐标对应的动量为广义动量。从拉格朗日方程中，假设 $s$ 为广义坐标，那么 $\partial L/\partial \dot{s} = p_s$ 则可以定义为广义动量，而 $\partial L/ \partial s = F_s$ 则定义为广义力，$v = \dot{s}$定义为广义速度。

在广义坐标、广义动量和广义速度下，广义动量的时间导数$\dot{p}_s = F_s$依旧满足牛顿运动方程。但是此时，广义速度和广义动量之间已经没有关系了。这些名字，空有坐标、力、动量等概念，但没有它们的量纲。在经典力学中，我们处理的所有问题，都是这些广义的坐标、动量的变化问题。我们需要选择最合适的坐标表示---常见的是球坐标、柱坐标等。在场论中，我们还会做傅立叶变换。一个好的坐标可能会给出守恒量，问题就可以大大简化了。

经典力学可以认为是建立在这些广义坐标、广义动量、广义速度、广义力的基础上，所以需要一个理论能很方便地处理这些坐标和动量。拉格朗日方程和哈密顿方程可以做到这一点，而牛顿方程不行。

18. 正则（Canonical）和共轭（Conjugate）的概念

正则是一个用的非常广泛的词语，而其意义也让人感觉扑朔迷离。正则动量，正则坐标，正则关系、正则方程、正则变换等。曹则贤老师在《咬文嚼字》中考证这个词的意思。但是它有一个简单的理解，即正则等于标准、典范的意思。这个词有些时候会和regular混在一起，比如正则表达式（regular expression），但意思类似，即最标准的形式。

同样的，共轭（Conjugate）也是一个被广泛提到的概念，比如共轭量、共轭复数、共轭梯度等。在化学中，有共轭亚油酸、共轭碱、共轭酸等。但是一般来讲，它表示一对相互有关系的量。比如复数中的$z$和$z^*$，力学中的$x$和$p$，实空间的$x$和动量空间的$k$，统计力学中的$P$和$V$, $T$和$S$等，就是一对彼此有密切关联、必须成对出现的变量/事物。有一个变量，就可以得到另外一个变量；反之亦然。我们不做“掉书袋式”的文字考证，但是在上课的时候，我会反复介绍这些概念的意思。比如当我讲正则关系的时候，一定会介绍它的意思：即标准关系，或者标准形式。

正则坐标是广义坐标的一种（包含关系）；正则动量和正则坐标是满足哈密顿关系的共轭对，是特殊的广义坐标和广义动量。从这一点，很多教材开篇就将广义坐标和广义动量，是有道理的。如果可以点破这一点就好了。

19. 从达朗贝尔原理到拉格朗日方程

在教材中，拉格朗日方程可以有两个方法证明。第一个是在直角坐标，利用湊的方法。我上课的时候就采用这个方法。然后证明对任意广义坐标都正确。另外一个是从达朗贝尔原理，设$r_i= r_i(q_1, q_2, \cdots)$，并证明对任意广义坐标都成立。这两条路殊途同归。

很多教材的确都用到了这个方法，但是没有点明这几点。第一、这个公式对任意坐标都是成立的；第二、这是拉格朗日方法和牛顿运动方程非常显著的差别。拉格朗日方法对任意广义坐标都成立，从而可以更加方便处理一些受限问题，而牛顿方程不行； 第三、如果自由度无穷大，那么这个思想可以很容易推广到场论模型；第四、哈密顿原理告诉我们，这个运动方程对应$\delta S = 0$，即作用量最小。可以这样认为，拉格朗日提出了一个对任何坐标系都成立的运动方程形式，哈密顿则给出了任何坐标系中的正则坐标和正则动量的形式。后来，这些正则坐标和动量，可以对应某些空间，即$N$空间和$TN$空间，总共构成一个切丛空间$TN$。拉格朗日对应实映射$L: TN\rightarrow R$。任何一个空间都必须配备一个合适的几何结构，在这里它对应的辛几何，它和欧几里得空间有很大的区别。

这个证明可以在很多教材中找到，所以忽略； 我只强调上面的几个重点。

20. 从经典力学到场论

经典力学的拉格朗日方程可以很轻松过渡到场论，比如取$q_i(t) = \phi(x, t)$ ($i=1, 2, \cdots, N$), 那么有下面的拉格朗日方程 \begin{equation} {d \over dt} {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{\phi}(x, t)} = {\partial \mathcal{L} \over \partial \phi(x, t)}. \end{equation}场的自由度为无穷大, $N\rightarrow \infty$，所以可以连续化，将$i \rightarrow x$。它对应的作用量为$S = \int \mathcal{L} dx$。这里我们定义场密度$\mathcal{L}$。经典场论（classical field theory）讨论的模型很多，比如相对论场论、电磁场理论等。在连续模型中，我们可以将它推广到任意空间，并做某种傅立叶变换。

21. 力学中的力真的必要吗？ 它可以废除吗？

一般力学教材，没有明确提到要将力从力的概念废除掉。Wilzeck的书《奇妙的现实》第6节“F=ma中的力从何处来之一：文化冲击”中提到这个话题，蛮有趣。他说，这个公式其实包含某种悖论。加速度是空间的概念，$m$是物质质量的概念，但是$F$没有独立的意义，即没有物体，就无法定义力。Tait在1895年《论动力》中明确提到，没有必要引入力。罗素在《相对论ABC》中有一个章节的题目为“废除力”。费曼在《物理学讲义》中也“什么是力”中对此也有类似描述。对于这个公式，我们需要质量和加速度，才能定义力；但是，我们需要力，才能定义质量。所以它属于循环定义了。在拉格朗日方程中，我们就没有出现力了。相反，力被认为是某种势的梯度。量子力学中，则更不需要力了。大约在1929年，Ehrenfest从位置、动量的期待值出发，从量子力学推导出了一个类似牛顿方程的东西，表明量子力学和经典力学并非截然不同。

补充：在吴大猷先生的《古典力学》中也对这个问题有讨论。Mach可能是最早意识到这个问题的人，他提出利用加速度来定义质量。其原理比较简单，即相互作用的物体，其作用力恒相反（即牛顿第三定律），$m_1 a_1 = - a_2 m_2$，因此测量加速度就可以用来确定质量比。一般的教材都不会讨论如何从加速度来定义质量，也不一定讨论这个定义背后的循环定义问题。

我们讲经典力学Classical mechanics和量子力学Quantum mechanics,  可以看出，力学不是“力的学问”，望学生牢记。力学对应的单词是 Mechanics, 而不是力 Force。