昨天下午在文科9班讲这样一道题：
       已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4x²＋9y²=36有相同的焦点。⑴求双曲线的标准方程；⑵若点M在双曲线上，F₁、F₂为左、右焦点，且|MF₁|+|MF₂|=6 $\sqrt{3}" style="font-family:arial;font-size:14px;line-height:22px;$ ，试判别△MF₁F₂的形状。

      做第一问时，将椭圆方程变为标准方程，求出c²=5，这也是双曲线的c²，设出只含a²的双曲线方程，将点（3，－2）代入即可算出a²，得到双曲线方程。

      做第二问时，  我问学生们三角形都有什么类型的形状，学生们总结得很全面，有等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。不妨设点M在双曲线右支上，由双曲线定义得出|MF₁|－|MF₂|=2 $\sqrt{3}" style="font-family:arial;font-size:14px;line-height:22px;$ ，再与|MF₁|+|MF₂|=6√3联立方程组，可以得到△MF₁F₂的两个边长|MF₁|=4 $\sqrt{3}$ ，|MF₂|=2 $\sqrt{3}" style="font-family:arial;font-size:14px;line-height:22px;$ ，又因为|F₁F₂|=2 $\sqrt{5}$ ，所以，可以由三角形三边的长度判断三角形的形状。

      由三边长已经排除了等腰三角形和等边三角形，然后怎么做呢？因为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形都是由三角形最大内角决定的，因为边|MF₁|最长，所以∠MF₂F₁最大，用余弦定理算出cos∠MF₂F₁＜0，所以∠MF₂F₁是钝角，从而△MF₁F₂是钝角三角形。       我一边分析，一边在黑板上书写，当我把分析内容在黑板上书写完毕时，犹如建造了一座美丽的楼阁。当我观察学生们的表情时，并非都是会意的微笑，释然的轻松，不少学生依旧紧锁眉头，盯着黑板看。
      我好奇地问：”你们哪里看不懂呢？大胆地问，不要有顾虑，什么问题都可以提出来。” L同学说：“为什么边|MF₁|最长，∠MF₂F₁最大？”我以为他们忘了，就提示他们：“初中平面几何讲过大边对大角，小边对小角，你们记得吗？”好几个学生都摇头说：“不知道，没有印象。现在知道了，这个问题也理解了。” G同学说：“为么cos∠MF₂F₁＜0，∠MF₂F₁是钝角？”“因为三角形的内角大于0，小于π，而第一象限角的余弦值为正，第二象限角的余弦值为负。所以，锐角的余弦值大于0，直角的余弦值等于0，钝角的余弦值小于0。”“哦~，明白了！”
      我感觉非常震撼，学生们找到了最简单而且最有价值的问题，正是这个问题使这座美丽的“空中楼阁”落地生根，也有了自身的价值。我也一下子明白了很多，切实体会到了“以学定教”、“降低难度”的重要性。更关键的是给学生松绑，让学生敢想，敢问，而且想问，我这个指导者才有用武之地，才知道指导他们什么内容，怎么去指导他们。