半年前“新语丝读书论坛”曾为一个测量问题大起争论。争论的起因是，按照一百年来温度计的精度，“全球变暖”理论（全称是“人类排放温室气体导致灾难性的全球变暖”）的数据基础——每百年上升不到一度——到底多大可能应该归于误差。争论的焦点随后转移到这个问题：用一把刻度精度有限的尺子，可否通过随机扔棍子的办法，无限提高对棍子长度的测量精度？

 

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送交者: james_hussein_bond 于 2011-01-04 18:38:31:

008尺子的定义：

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我上面画的是一个尺子. 在每一个数字的地方有一个sensor. 每个sensor的输入是盖住和不盖住两个状态. 如果实测的长度盖住3, 没盖住4, 那我们说这个长度是3.5+-0.5.

由于每个sensor本身的尺寸很小, 如果被测的长度位于4和5中间, 测一万遍都会得出同样的结果, 4盖住, 5不盖住. 结果是4.5+-0.5. 同一个数字, 平均不平均都没区别.

但是如果被测的长度正好在4上, 由于sensor本身有大小, 可能有时候输出盖住, 有时候输出不盖住, 测量会有两种结果, 3.5+-0.5 和4.5+-0.5. 由于有了随机性, 测一万次可以平均一下, 这样得出的结果可能是3.8+-0.5, 无论如果, 比不平均的结果要更接近真值, 但是误差还是+-0.5

湘女的东西：长度大约0.1。

问题：如何通过对多次测量的平均将此物长度确定到任意精度？

首先，尺子是唯一测量工具，不允许做什么＂对准一端＂这种额外加的条件。你拿什么判断一端是否对准了？所以唯一正确的解法，是让物体随机地落在尺子上，看有几个sensor被盖住。

假设物体长L<1，sensor长S<<1，L>S，sensor完全盖住时100%给信号，部分盖住时50%给信号，只考虑物体左端落在1和2之间的情况，那么sensor发信号的几率是：

0.5*(S/2) + 1*(L-S/2) + 0.5*(S/2) = L

左边第一项是左端落在sensor 1上的贡献，第二项是sensor 2被完全盖住的几率，第三项是左端落在sensor 2上的贡献。

结论：只要看sensor发信号的几率，就得出物体长度L。

实验上，每次测量得到的结果是0或1，几率分别是1-L和L。N次测量后variance是NL(1-L)，误差是sqrt[l(1-l)/n]。只要增加测量次数，精度就可以任意提高。

 

　　当时我对这种测量问题并没有亲身经验，因而插不上嘴。而最近几个月，我们完成了一个标准化的工作——标定氢同位素的天然气标准样品的氢同位素比值，其间要不断参考美国标准和技术研究院（NIST）的定义和规范，对这类问题才有了切身体会。

 

　　按照NIST标准的描述，测量值与真实值的差别包括两部分——偶然误差和偏差。偏差不但来自仪器的系统误差，也可能来自测量手段。比如，上面那个扔棍子的方法，尺子刻度本身会带来系统误差，而如果测量场所的风向在某一方向上有优势，那么也会带来偏差。

 

　　偶然误差可以通过统计方法来减少，那就是增加测量次数，而不确定性反比于测量次数的平方根。

 

　　与偶然误差相比，偏差的最大问题是，并不必然地遵从正态分布。对于上面那把尺子，“2和3之间的距离”与“4和5之间的距离”并不绝对相等，而且也并不绝对等于一个真实的单位长度。也就是说，任何两个刻度之间的长度都存在偏差，而且这些偏差之间也并不一致。仅就这把尺子而言，我们不但不知道每个单元格的偏差多大，甚至也无法知道哪个单元格的偏差更小。现在从权的办法，只能假定真实的单元格长度处于最窄的和最宽的单元格之间，并且其概率分布是矩形分布，而不是正态分布。——当然最重要的结论是，偏差是无法通过增加测量次数来消除的。

 

　　所以，就这个测量方法而言，增加扔棍子的次数，并不必然导致棍子长度测量结果的不确定性减少。它固然不取决于尺子精度，但是它最终取决于尺子单元格本身的不确定性。

 

　　再到起始的问题：全球地表平均温度“每百年上升不到一度”的观测结果到底多大可能应该归于误差？我们依然需要从偶然误差和偏差两方面来考虑。从偶然误差考虑，仪器精度并不是个问题，因为数据点和观测次数非常之多，总可以把方差降得足够低。温度表误差假设是0.5度，100次的观察就可以将不确定性降低到0.05度以下，所以仪器精度本身不是一个问题。

 

　　问题仍然在偏差部分。对偏差的校正，更多地不是依赖统计，而是依赖背景知识。而IPCC公布的地表温度值的定量变化，至少包括以下偏差：1）仪器更新（http://www.nature.com/nature/journal/v453/n7195/full/nature06982.html）；2）热岛效应（Anthony Watts的项目就是考虑这个问题的影响）；3）对每种环境的温度点该如何加权（这是Pielke Sr.的研究范围）；4）权威温度数据库对温度资料的校正和取舍（气候门丑闻暴露出这样的问题）。

 

　　所以，尽管我们知道最近100年来地表温度上升速度有一个数值，但是这个数值的不确定性有多大，并没有一个可靠的数字（IPCC报告的主要结论在统计上经常通不过，比如所谓“全球变暖‘90%可能’由人类活动造成”就是一个例子）。

 

参考资料：

http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/

 

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