老师要不要告诉学生自己也不会？

跟朋友聊天，朋友说，当科研感觉遇到瓶颈的时候，就好好去给学生上课，会有意外的收获，深以为然。

 昨天给学生上课，讲到梁的buckling 的critical loads. 有个学生问我为什么这些critical loads恰恰是微分方程的特征值？我解释说这些critical loads 对应的是梁的无限大变形。而矩阵行列式为零对应的也是位移无限大的情况。所以这种“巧合”是可以理解的。但这种巧合可能有其必然性，为什么有这样的必然性，老实说我也不清楚。我如此解释，学生们都睁大了眼睛，课后有个学生跟我说，他之前从没有这样思考过问题，今天的课收获很大。

 小时候孩子们之间比谁知道的数大。小花说说一千，小明说一万；小花说一千万，小明说一亿；小花说一亿亿，小明说一亿亿亿。。。小花的肺活量没小明大，只好说要多大有多大！小明说，小明说要多大有多大加一。小花不知道怎么比较要多大有多大跟要多大有多大加一哪个更大，跑回家问妈妈去了。

 国外也有一个类似的小朋友吵架的故事，约翰骂汤姆，你个笨蛋。汤姆回骂，你十个笨蛋；约翰骂，你一千个笨蛋，汤姆回骂，你一万个笨蛋。约翰骂，你一亿个笨蛋，汤姆回骂，你一亿亿个笨蛋。约翰骂，你要多笨蛋有多笨蛋。汤姆回骂，你两个要多笨蛋有多笨蛋。约翰大笑，两个你多笨蛋有多笨蛋跟一个要多笨蛋有多笨蛋一样，你个笨蛋。

 其实，无论是无穷大还是无穷小都不是一个简单的数，不能按照一般数的理解去看待它们。那么无穷大/无穷小的本质是什么呢？无穷大/小不是静态的，而是动态的，它们反映的是一个趋势，一个无限增加或减少的趋势（快慢）。

高等数学和初等数学的区别是高等数学是动态地思考问题，初等数学是静态的思考问题。所谓动态地思考问题就是用极限的视角，这是微积分的核心。相对数学的分类，物理现象是不分初等还是高等的。什么是极限的视角呢？就是无穷的视角。无穷分无穷大无穷小。无穷大之间，或无穷小之间是不能比较“大小”的，只能比较“快慢”。 这里的“快慢”，就是动态趋势的视角。我们讲力学计算经常说略去高阶无穷小。有学生问我，凭什么要略去高阶无穷小？我说，高一阶的无穷小比低一阶的无穷小小得太多（变化更“快”），以至于对于整个计算的影响微乎其微，可以忽略不记，所以才可以省去，当然这是针对小变形的问题。上面提到的梁的大变形的问题就不能随便略去高阶无穷小的。学生豁然开朗。

 有学生问，为什么要取极限呢？因为只有取极限才是完美的，大自然经历亿万年的进化，可能只有取极限才能配得上她的状态。这当然只是一种哲学上的思辨。牛顿发明微积分是从物理现象出发的，莱布尼兹发明微积分是从哲学逻辑出发的，殊途同归。那么，极限和无穷小之间是什么关系呢？无穷小就是特殊的极限。或者说是用极限的数学定义去描述无穷小。通俗地讲，无穷小就是要多小就有多小，但不能等于零，当然这不是数学定义的表述，但方便理解，直观。数学上对极限的准确描述是柯西完成的，也就是我们现在教科书上对极限的定义。很准确，但学生们不容易理解。

 在给学生讲力学中的虚功原理/虚位移原理的时候，很多学生死活理解不了什么是虚位移。教科书上是这样定义虚位移的：“所谓虚位移是指在一定位置上的质点所作的为约束所允许的、假想的无限小位移。由于任何物理运动都需要经过时间的演进才会有实际的位移，所以称保持时间不变的位移为虚位移”。其实，我的理解，这里讲虚位移其实就是位移的微分，微分就是无穷小的概念。“假想的”这个词是多余的，甚至会误导学生。无穷小是真实的，不是假想的。另外，虚位移的定义也无需跟时间产生联系，因为等式两端根本就没有时间，是个静态的问题。解释“保持时间不变” 其实是画蛇添足。

 其实，教学最重要的意义是启发。课堂上具体的知识点，一旦考完，学生可能很快就忘了。但思考方式上的启发会影响深远。另外一个体会是，当老师自己对某个问题也不太清楚的时候，就老实地告诉学生们，这个问题我目前也没搞懂。这种诚实，对学生来讲，是最大的代入感。