近日，看到科学网一篇探讨相干波能量佯谬（Energy Paradox of Coherent Waves）的博文¹，很有意思。正好讲课讲到了等离子体波方面的内容，我本人也很感兴趣，故专门思考调研。发现国外不少网站早有相关讨论^2-5。经梳理，加上个人认识，觉得应发文记录一下。

先说明白所讨论的问题：若存在两列单色简谐波（可用同一三角函数表示 ---  E=A cos (wt - kz)），传播方向、频率、波长乃至振幅（A）均相等，能量密度等于~A²/2，二者相加可得一振幅为2A的简谐波（E’=2A cos (wt - kz)），两列单色波能量之和为~A²，若按简谐波能量与其振幅平方成正比的算法，则为~2A²，凭空多了一倍!?。二波相加对应于波与波的相长干涉（constructive interference），此处为完全或处处相长干涉，故将该矛盾称为相干波能量佯谬。

乍一看，的确令人费解，甚至还违背了能量守恒这一铁律。上述博文给出了解释，觉得还需适当补充说明，更为清楚，也便于参考。

先明确一点：平面单色简谐波仅存在于数学变换和分析之中，在现实世界中并不存在。这是因为，从定义式来看，此类波存在于无穷时空之中，从无穷远来到无穷远去，总能量为无穷大，自然不可能存在。

真实扰动均存在于有限时空之中，这一点无需置疑。根据傅里叶分析理论，在一定条件下，可将有限幅度扰动分解为若干单色简谐波，各简谐波振幅、频率和波长均可不同。若扰动满足线性方程（组），由于振幅的任意性，则分解所得各单色简谐波均需满足同样的线性方程（组），因而使有关数学处理大大简化。这说明，单色简谐波是由数学上的线性化处理引入的，在此基础上进一步引申时需小心。所谓佯谬之困惑，正是由于振幅是线性参量而作为振幅平方的能量则是非线性参量这一属性差异引起的。

简单分析表明，若产生振幅为A的波（称为A波）需耗费~A²/2的能量，而产生振幅为2A的波所耗能要高于~A²，即高于产生两个A波所耗能量。这一点可通过“挖洞”类比：挖1米深的洞，需排土或克服重力做1个单位的功；挖2米深，则需做3单位功；挖n米，需做(n+1)n/2单位功。很明显，挖2米的洞，比挖2个1米洞所需能量更高，或者2米洞“携带”着更高的重力势能。欲产生波，同样需储存足够多势能方能达到所要振幅，故可将波幅与洞深类比，便可明白为何2A波所携带能量要高于两列A波携带能量之和。在产生2A波时，需经历从0到A再到2A的阶段，而后一阶段会受到第一阶段的影响，的确需耗费更多能量。

       上段文字说明在能量守恒要求下，一列2A波不能分解为两列A波，两列A波也不能直接合成为一列2A波；即单一的简谐波不可以分解为两列或多列子波，多列子波也不能合成为一个振幅为子波振幅之和的简谐波，因为这都会违反能量守恒律。之所以看起来能分解，只是数学上的所谓可以（A + A = 2A），或者说只是振幅可以，而由于破坏能量守恒在物理上是不可以的。

       不同源不可能产生相位完全等同的两列简谐波，总会在传播方向或者其它参数方面有所差异，这样完全相长相干现象就不会出现，只能是相长与相消两种情况并存，在整个空间中满足能量守恒定律；而源自单一源的波，则对于固定频率和波矢参数，只能存在一列单色波 ---如果可以有两列，便会出现矛盾：二者相加得到形式上的2A波，但能量却不足以支撑该2A波，所以同时考虑线性系统和能量守恒要求 --- 便需规定在固定参数上只能存在一列简谐波 ---  也就不存在两波完全相长干涉导致的能量守恒问题了。

除可提出上述完全相长干涉佯谬外，类似地还可提出完全相消干涉（destructive interference）佯谬：将在时空之中处处相位相反的两列单色简谐波相加（A – A），振动处处抵消，皓月千里、一马平川，波能凭空消失!?能量守恒何在？

或可如此理解：两列简谐波，仅相位相反，分别表示为A cos (wt - kz)、- A cos (wt - kz)，二者存在于时空中每一点，均从无穷远来到无穷远去，如硬说二者有源 --- 若曰同源，则相当于要求源区乃至时空各点均同时向上且向下振动，只能是各点静止（0=A-A），这只是一个能量本就为零的平凡数学解而已；若曰异源，如说两列波源自不同位置的等同源，两列波在时空中相遇故而相干 --- 这已不是上面所述从无穷远来到无穷远去的简谐波了，则二者必定无法用上述等同的数学函数来表现，也许传播方向不同、也许频率或波长存在差异，总之物理上不可能设计出A cos (wt - kz)与- A cos (wt - kz)先后出现或共存之场景，因而也就不会违背能量守恒定律。

事实上，由于平面单色简谐波在物理上根本不存在，或者任何有意义的扰动都只能在有限时空内存在，因而上述完全相长或相消两种干涉情况都不可能存在。真实情况是：两列相干波，振幅可以相同（A），但在频率或波长或传播方向上总有差别，二者在此相长必在彼相消，相长处能量密度增长为相干前的4倍，而相消处能量为0，平均而言整个空间中的能量为相干前的两倍，对应于两列波能量之和，这便遵从能量守恒定律了。

如下面公式所示两列“有差异”的单色波的叠加：

 A exp (ik1*z) + A exp (ik2*z) = 2A cos((k1 - k2)/2 * z) exp (i (k1 + k2)/2 * z)

合成波的振幅是2A cos((k1 - k2)/2 * z)，故仅当k1 与 k2严格相等时，才会出现上述能量佯谬问题；而只要k1与k2不等，相长与相消干涉按照余弦函数此起彼伏，便会满足能量守恒定律。不存在什么问题。

     总结：由数学简化、线性化处理引出了平面单色简谐波，在数学形式上看起来可以分解为多列波，但由于能量是振幅平方对应的非线性参量，故在能量守恒定律限定下是无法完成分解的；所假想的存在相位全同或全反的两列单色波以实现完全相长干涉或相消干涉，是典型的“过度使用”平面简谐波这一线性体系中的数学简化模型，所以才会出现能量守恒律被破坏的非物理情况。

参考博文与网站：

1.      科学网—相干波的能量佯谬 - 刘全慧的博文 (sciencenet.cn)

2.      Paradox of wave energy - Physics Stack Exchange

3.      What happens to the energy when waves perfectly cancel each other? - Physics Stack Exchange

4.      waves - Energy conservation and interference - Physics Stack Exchange

5.      Does destructive interference contradict the law of conservation of energy? | Physics Forums