|
高楼边的风为什么大?从直观上很好理解,风迎面吹过来被楼挡住了,只能从边上绕过去,原来是一条宽的风道,现在变窄了,风速必须更大才能通过同样的空气量。这是定性的理解,现代科学是数学化的,得有计算才行。在这篇博文里,我讲一下怎么计算出这个优美的速度公式。你会发现非常简单。
回顾复数的概念:一个单位圆的方程是 $t =e^{i\theta}$ 。要把这个圆变成一条水平线段得把它的虚部消去: $t^\prime = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = t+ 1/t$ 。可见,用变换 $z^\prime = z + 1/z$ ,其中 $z= r e^{i\theta}$ 是用圆心为原点的复数坐标。这个变换如果明确写出实部与虚部是:
$z^\prime = z + 1/z = z + \frac{z^*}{zz^*} = r e^{i\theta} + e^{-i\theta}/r \\
= (r + 1/r) \cos\theta + i (r-1/r) \sin\theta$
我博文中的计算一般都是一步不漏,没有浪费纸,直接敲进去,大家可以跟着心算。在圆压扁成线的情况下,风速 v 水平向右,其势为 $U= v \hspace{1mm} x^\prime$ 。因此,在圆的情况,风速的势为
对 r 与角度分别求导即得出风速的径向与切向分量:
$v_r= v\hspace{1mm} (1-\frac{1}{r^2}) \cos\theta$
$v_\theta=\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta}= - v\hspace{1mm} (1+\frac{1}{r^2}) \sin\theta$
Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )
GMT+8, 2024-7-17 06:57
Powered by ScienceNet.cn
Copyright © 2007- 中国科学报社