在《科普自行车轮之神奇》中，我试图解释一个实验：把转动的自行车车轴一端用绳子吊起来，车轮不会倒下，而是会横悬着在水平面进动（也就是图中绕着绳子打转）。我的博文不用角动量，只用向心力解释了为什么这个情况下力矩平衡：因为轮子的进动，轮子上半部分与下半部分的速度不同，因而轮子上部的向心力与下部的向心力不同，如果进动角速度达到某个值，那么这个向心力差对应的力矩正好抵消重力的力矩。（点击查看视频） 至此，我们解释了为什么可能平衡。但读者很快就问，轮子开始时并没有进动，只是自转，挂上去后，就开始进动了。这又怎么解释？使什么力量驱使轮子从进动为零，迅速达到一个进动角速度呢。有细心的读者发现，轮子挂上去后，轴没有保持水平，而是因为损耗开始逐渐向下倾斜。

$I_{p} \frac{d\Omega}{dt} = I_{c} \hspace{1mm} \omega \hspace{1mm} \frac{d\phi}{dt}$

$\Omega = \frac{I_c \omega}{I_p} \int_{\phi_0}^{\phi_{p} } d\phi = \frac{I_c \omega}{I_p} (\phi_{p}-\phi_0)$

$\phi_p$ 是轮子在挂上去之后某个时刻的倾角（当然这是假定对应的进动角速度足够平衡）， $\phi_0$ 是轮子刚挂上时的倾角（我们假定倾角比较小）（其实上面的结果就是角动量守恒）。这个关系说明，轮子获得的进动角速度与倾角变化成正比，也与轮子的转动惯量与自转角速度成正比。如果轮子转的足够快，那么跌落较小的倾角就能产生较大的进动角速度。当进动角速度达到一定数值，如果其变化率能够与重力产生的力矩平衡，就不会继续下跌了。否则，还是会倒下。这就解释了为什么我们需要把轮子高速旋转。

$\phi_{p}-\phi_0= \frac{I_p \Omega }{ I_c \omega}$