（1）开始：势能 mgh, 动能 1/2 mV^2, 总能量

            E0 = mgh + 1/2mV^2;

 (2) 碗底：势能０，动能　1/2 m (v+V)^2　＝　1/2 mv^2 + 1/2mV^2 + m v*V  

                          总能量 E1 = mgh + 1/2mV^2 + m v*V = E0 + m v*V

$\Delta E = V \cdot mv = V \cdot \Delta P$

我在《外力做功的伽利略变换》一文中给出了做功的伽利略变换公式：W′=W+V⋅ΔP。在静止参照系，碗对小球做功为0， 也就是说W=0，但碗的作用力导致小球动量变化为  mv，那么在运动参照系，碗对小球做的功是 V * mv 。除非 V与 v 垂直，这个碗对球的做功不为0.

为什么在伽利略变换下，一个能量守恒的系统，能量不再守恒？

从我们上面的分析看出，这是因为系统没有平移不变性，也就没有动量守恒。用中学物理分析，参见《外力做功的伽利略变换》。如果用高等力学，这表现在系统的哈密顿量在 xp = x - V t 变换下，出现显示含时间项。

注一： 考虑M可以滑动，m 滑到碗底速度为v,  M  速度为 u。在静止参照系，

mv + Mu =0

mgh = 1/2 mv^2+ 1/2 M u^2

解出，

$v= \sqrt{\frac{2gh M}{m+M}}$

$u = -\frac{m}{M}v$

换到速度为V的参照系，伽利略变换   $u^\prime = u+V ; v^{\prime} = v +V$

系统总能量

$E =\frac{1}{2}m(v+V)^2 + \frac{1}{2}M (u+V)^2$

代入上面的u,v， 得出

E= mgh + 1/2(m+M) V^2

由此可见，当M极大，以M作为参照系能量近似守恒 （误差为 m/M 量级），但一旦进行参照系变换，能量就不守恒了，因为M 并非真正的惯性系。