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电影《Interstellar》中的引力延时
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《Interstellar》我昨天看了，并进行了简单的影评。美国确实是人类科技文明的代表。一方面，美国人在地球上指东打西、俨然是王者；另一方面，他们的想象力与目光投向了遥远的星系。美国拍摄的宇宙探索的电影、电视剧非常多，不仅想象力丰富，拍摄技巧先进，更重要的是，它有一个广大的、高文化程度的观众群，能够提供一个市场支撑这种类型的艺术创作。像《STAR TREK》这样的电视剧，经常把非常前沿的科学问题变成未来世界的应用，很多美国人百看不厌，甚至有专门的杂志进行研究。抛开其技术种族主义的成分，美国人热爱科学、尊重科学、尊重知识的精神是值得全人类学习的。如果人类不把自己的生存目标局限于在地球上争夺资源与空间，而是作为宇宙的探索者，那么在很多问题上的观点将更为远大。
《Interstellar》有个场景，探索者们来到了一个黑洞附近的一个行星，根据电影的描述，在这颗行星上的一小时相当于外面的7年。这是什么后果呢？电影显现出来的，探险队跑到那个星球上处理了一两件小事情，回来发现外面的时间已经过了20多年，男主角原本少年的儿子都已经步入中年了。从外面的角度看，他们确实等了20多年才把探险队等回来。在外面的人看来，探险队一顿饭吃了若干年，一口饭从碗里送到嘴里可能要一天；对探险队来说，他们的时间确实只过了三小时，他们也只能做三个小时的事情---而不是获得了更多的时间可以做更多的事情。
这种不同观察者时间流逝速度的差异并非什么新知识，而且基于100多年前爱因斯坦提出的相对论，以及之后的实验验证。在爱因斯坦之前，人们认为时间是独立于空间的一个独立流逝的参数，而两个固定点的空间距离是一个不变量。但爱因斯坦发现并非如此，对于不同观察者真正不变的物理量叫做间隔。从局部来说，间隔的平方等于时间差的平方减去空间坐标差的平方，这与勾股定理中距离平方等于坐标差平方的和有个符号的区别。引力则对应于时空的弯曲。在局部地图上我们可以通过勾股定理（近似）计算距离，但如果距离扩大就行不通了---因为地球表面是球体。这对于数学家来说其实并非新鲜概念，而是微分几何研究的问题。
总而言之，物理的现实是，时间并非绝对而独立，引力是空时几何的表现。在引力场中不同点的时间流逝速度可能不同。下面，我们通过一个物理教科书上经常用到的、简单实验结合中学物理加以说明。这个实验是已经被验证了的。
假设我们处于地球的引力场中，从地面向上发射一个频率为 f 的光子，这相当于向上空扔一个小球。根据量子力学，我们知道 光子的能量为 E0 = hf , h 为普朗克常数。如果这个光子的能量转换为质量，根据爱因斯坦质能公式，m = E0 /c^2 = h* f/ c^2 ， c为光速。
根据中学物理，质量为 m 的物体在重力场中高度为H ，其势能为 m*g*H，其中g为重力加速度。设在高度H ，光子的频率为f1，而能量守恒，因此我们有
h * f = h * f1 + h * f1 /c^2 * g * H
解出这个一元一次方程，我们得出在高度H，光的频率变成了 f1 = f / (1 + gH /c^2) 。在引力场g中，光子逆引力而动H距离，频率变小了一个 1/ (1 + gH /c^2) 因子 。
到目前为止，这都是中学物理。问题是怎么解释这个现象？
地面上的信号如果有N个波动起伏，那么在远处收到这些信号，也会收到N个波动的起伏。这个起伏的数量是不会变的。就像一个人在地面一分钟吃一口饭，一共吃了60口；无论谁看来都是60，不会变成59。
而频率是单位时间波动起伏的次数。为什么同一个信号，也就是同样次数的波动，引力场中不同高度的地点会得出不同的频率？ 稍微摆脱一下传统的时间概念，我们只能结论，不同高度时间流逝的多少不同。
假设地面流逝的时间为 t0， 在这么长时间内，光子振动次数为 N = f * t0。在高度H，我们知道光子的测出的频率是 f1, 同样次数的振动需要的时间为 t1。
f * t0 = f1 * t1。因此，t1 = f /f1 * t0 = t0 * (1 + gH /c^2) 。
可见，引力场“深处”的时间对应于外面更长的时间；外面感受的时间长度是里面时间长度的 (1 + gH /c^2) 倍。我们可以带入地面的数字进行一个估算，国际单位下， g = 9.8, c = 3 * 10^8，假设高度H= 1000 （米），则
1 + gH /c^2 = 1.0000000000000108 = 1 + 1.1 * 10^(-13) 。
也就是说，1公里高空与地面相比，时间流逝速度快些，但差别只有 十万亿分之一。
电影中，行星上的一小时相当于外面的7年。7年是 7* 365* 24 = 61320 小时。也就是说，在这个行星外时间的流逝速度是行星表面的6万倍。根据上面的近似公式，大家可以估算造成这么巨大的时间差异需要多么强大的引力场 ，要摆脱这么大引力的束缚需要多少能量 --- gH 的值明显是令人惊骇的，6万倍于单位质能。当然，更为准确的计算要使用正确的非线性 metric ，而不是简单的均匀引力场势能模型，但数量级应该是对的。
所以，我对这个6万倍的时间差 感觉极不靠谱。这需要极强的引力，而以电影中表现的飞船技术，应该根本无法安全着陆、也无法离开。
附：电影简评
电影 Interstellar 观后感
热度 10 |||
刚才去看了电影《Interstellar 》， 感觉还不错，但略显拖沓。
电影故事梗概如下。未来某个时代，地球已经接近死亡了，经常发生沙尘暴，沙暴一来漫天蔽日。食物严重不足，能种植的基本只有玉米。大部分人口都在从事农业。男主角Cooper原本是飞行员，现在也在种玉米。里面有个插曲，Cooper去学校跟老师谈话，老师说他女儿拿了本讲美国登月的书去学校，引起了争端。老师说，我们都知道所谓阿波罗登月是假的，是美国用来欺骗苏联的，这部分历史早就恢复真相了，你女儿拿这种老的虚假的东西到学校不合适。
Cooper家里有个书房。奇怪的是沙尘落在书房地上形成一条条的，他和女儿把这现象称为幽灵，一直在琢磨，这是怎么回事。有天终于意识到这些条码可能是二进制数字表示的坐标值。父女两于是开车去这个坐标点。到的地方原来是美国宇航局 NASA。当时NASA名义上已经没了（因为要节省资源解决吃饭问题），但实际还在秘密进行研究。NASA的一位老科学家告诉Cooper，在土星附近有一个wormhole （虫洞），可以通向其他星系，这应该是更高智慧的5维空间的生物给人类的一条出路。所谓虫洞是折叠空间、并且连接遥远空间的通道，通过虫洞可以到遥远的星系。NASA已经派出了几批先遣队通过虫洞进行侦查。现在需要出动一个更大的队伍前往，需要Cooper当飞船的驾驶。
NASA有两个计划。计划A是将地球上的人移居外星。这个计划依赖于解出一个量子引力方程，找到克服地球引力的科学秘钥，使地球的上的人能够离开地球，大规模向太空移民。如果计划A不能成功，则地球上的人会因环境继续恶化在两代人之内全部灭亡。计划B是将人类的胚胎送到外星培育繁衍，这样虽然地球上的人类灭绝，人类作为物种可以在其他地方延续。
肩负着拯救人类的使命，Cooper 他们出发了，同行几个人中的还有一位女科学家。两年后，他们达到了土星附近，然后通过虫洞到达了宇宙的令一个角落。根据接收到的信息，之前的探险队已经探索了三个可能的行星。其中一个行星是绕着一个黑洞运行。他们选择先去查看这个，但有个问题，在那个行星上一小时相当于地球上7年，他们如果在那浪费时间太多，地球上的人早就消失了，因此必须节省时间。经过研究后，他们找到一个方案，可以将时间限制在一小时左右。Cooper 、女科学家以及令一名科学家乘飞船在那个行星着陆了，行星表面有水覆盖，他们发现了先前探险队留下的设备。正要将探险队的数据装置取回，发现如山一样的潮水正直扑过来。因为黑洞的潮汐力巨大，那个行星上涨潮的时候，潮汐高度像高山一般，根本不适宜于生存。潮水之中，他们的飞船像从巨大的波浪上冲浪一样急剧滑落，一名科学家来不及进入飞船而死亡。飞船发动机进水出现故障，好不容易才逃离该星球。最后他们在这个星球上花了三个多小时。也就是说，地球上已经过了20多年。这时，收到地球通过虫洞发过来的视频显示，Cooper的女儿都已经30多岁了，面容憔悴，她已经是一名物理学家，在帮那位老科学家解决引力问题；而Cooper儿子都结婚生子了。看到这情景，Cooper泣不成声，表示要回地球。
接下来，Cooper 他们有两个选择。有一个星球是女科学家的情人作为先遣去探索的，但现在没有任何信号发来。女科学家主张去这个星球。她说爱的直觉告诉她，这个星球是可以的，她无法解释，但认为爱可能是多维空间的量子联络。对此Cooper等表示反对，认为这是感情干扰了判断，另外一个星球的探险队还有信号不断发过来，数据显示很有希望。于是他们否决了女科学家的建议，前往这个星球。到了之后发现，那是个冰天雪地并不适合人类生存，所谓数据是先遣去的那位科学家伪造的，以便获得救援。这里面有段打斗插曲，我认为实在是没有必要也不合情理，就不赘述了。这时地球上那位老科学死了。临死前，他告诉Cooper 女儿，因为没有关键数据，他早就结论引力方程无法突破，地球上的人其实根本没有希望。整个项目其实都是为了plan B.
从这个冰雪星球出来，Cooper 他们要到剩下的星球已经没有足够燃料了。于是他们决定借着黑洞引力，将他们的母船送过去。为此，Cooper选择自己掉入黑洞，而母船则打了个“水漂”，奔另一行星去了。
Cooper掉入黑洞之后，进入了多维空间，在这里时间不过是另一维空间，人可以在时间内前后运动。Cooper通过控制家中书房的沙子传递信息给女儿，原来幽灵是他自己。另外，Cooper控制他女儿的一块手表的时间，让手表指针来回摆动，将穿入黑洞获得的量子引力数据传给了女儿。他女儿拿着这些数据终于解决了克服引力的问题。地球上的人类于是能在土星轨道上建立巨大的空间站。Plan A 成功。
而那位女宇航员则到了另一个星球。电影的最后出现一个镜头，女宇航员在一个山坡上探视一个墓碑，然后转身下山，山下的山谷之后一片灯火，飘着美国国旗，依然是一个人类的新基地。Plan B显然也成功了。
以上是我根据记忆写的故事梗概，其中忽略了不少我认为无关的内容，这些内容去掉也许更好。下面是部分评论：
1）电影中有一段镜头，Cooper开车带着女儿追逐一架无人机（*）。这个场面实在看不出有什么意义。而且极不合理。当时人类食物那么紧缺，他们却开着卡车在玉米地里兴奋地狂奔，碾压掉那么多玉米，估计损失的粮食够多少人吃一年了。
2）在冰雪星球上，先遣队的蛮博士(Dr. Mann) 企图杀死Cooper（仅仅是因Cooper想回到地球），自己控制母船，最后一场打斗，一次爆炸，导致两人死亡，母船受到损毁。这个场面不合理，除了刻意制造视觉暴力与破坏之外，也没有什么意义。
3）至于什么黑洞外行星的时间一小时相当于7年，我没有计算，但感觉极不靠谱。这需要极强的引力，而以电影中的飞船技术从地球到土星都需要两年，应该根本无法在该强引力行星安全着陆、也无法离开; 什么通过黑洞视界居然没有被潮汐力撕裂也是匪夷所思。至于那些目标行星，似乎都缺乏植物生长需要的光，环境远不如即使沙尘暴的地球。
4）地球上只是沙暴，不在地球轨道上建空间站让人生活，却跑到遥远而阳光微弱约100倍的土星；
5）整个故事显得很杂乱、牵强，拍摄、演技也很一般，音响效果似乎也不行，对话经常听不清楚。
* 我原以为是美国无人机，实为印度
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