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科普：用中学数学与费马原理推导折射定理
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很多自然现象的数学分析都需要微积分，但这往往有个问题，那就是经过一系列计算的中间步骤之后，对相关的物理反而搞不清了。经常在算出结果之后，要进行一大通的总结、分析，才能得出物理，而不是每一步计算都使人对相关的物理有更多的理解。比如说，行星椭圆轨道的问题，一般的计算是解一个二阶常微分方程，中间还搞了一个 u=1/r的变换。为什么？ 很难说清楚。当然也可以用能量守恒关系楞积分，但计算更为繁琐，椭圆怎么出来的更是糊涂。这个问题我用中学数学解出之后，顿时就清楚了，而且每一步计算都使人对这个自然现象理解更深，而不是更糊涂。
因此，对于自然哲学的理解，应该尽量先回到人更有直觉的代数，加减乘除，在需要的时候，再拿出分析工具。就像种菜，先用手探探土壤，然后再开始用锄头。
前天吃饭的时候，服务生端上一杯冰水，无意中，我放了一根筷子进去，读者立刻知道，应该看到筷子中间折了一下。原因是，水中筷子反射的光在出水的时候改变了方向。这个折射现象，幼儿园小朋友都知道的。物理原理是什么？为什么光不走距离最短的直线，而是来个转折呢？
实际上，光走的路径是一条最优路线，但不是距离最短，而是从出发点到目的地的时间最短。就像你把GPS导航设成达到目的地最短时间一样，光似乎有种第六感觉，预先知道哪条路径时间最短。但这不能证明有上帝，物理学在寻求这个原理更深层的原理时，恰恰证明了没有上帝。这一点，我在之前与基督教的朋友们辩论时提到过。
好。我们知道了基本原理：光走从出发点到目的地时间最短的路径。这称为费马原理。现在看看为什么直线不一定是时间最短的路径。如下图（方枪枪或者猫眼同学，你们能不能画一幅啊？）
光在水下的速度为v1,水上的速度为v2， v1小于v2。从A到B的直线距离最短，但是光在水下跑的距离长，导致时间长，要减少时间，光应该减少在水下跑的距离，这样水下时间减少，但减少水下的距离，在空气中的距离就延长了，时间增加。在某个角度，这个从A到B的总时间最少。
搞清了基本原理，下面就是数学了。通常的做法是，算出光路径的总时间与光出水位置的关系，然后进行微分计算，最后突然发现，这不出现了两个角度的正弦吗？美妙简洁的物理（或者数学）在计算中几乎丢失了。所以，我们试图回归人的本能，加减乘除。
如果你向正上方扔一个球，什么时候球的高度最高？答案是球速度为零的时候。速度为零是什么意思？就是说高度随时间的变化在那一瞬间为0。类似的，在上面的图中，假设最佳出水点为C，那么如果我们把这个出水点做微小的变化到D，ACB与ADB两条路径的差不是正比于CD之间的距离，而是为零。换言之，时间最短的路径附近的路径都差不多，英文称为stationary路径。有了这个概念，确定最佳出水角度就简单了。
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