最近，绿色能源议题非常红火，人类工业活动导致的气候变迁引起了广泛忧虑，汽车电力化似乎已经成了必然的趋势，不通过燃烧化石燃料（如天然气、石油、煤炭）而获取电能成为大家关注的重点。昨天，在大学同学群中产生了一个问题，为什么风力发电的风车叶片不大呢？叶片做大点是不是能从风中提取更多的能量呢？下面是我对这个问题的分析。

“假设风通过叶片后速度降为零，那么就等同于撞在墙上，后面的风过不去了。但风车如果叶片宽度为零，则等于没有风车，能量转换为零。可见中间应该有个最大值---两个极端，一块整板与没有风车，能量转换都是零。”

随后我给出了下面的计算。物理机制是，流动的空气（风）吹在风车叶片上，推动叶片，而风本身减速，这个空气动能的减少被转换为电能。设打在叶片上的空气速度为 v_in，入射有效面积为 A_in， 空气密度为 d，入射空气通过风车叶片后速度为 v_out，流动截面积为 A_out。单位时间内通过一个截面的空气体积是 A*v。套用动能公式  1/2mv^2. 空气动能在通过风车后单位时间内减少为：

$ P = \frac{1}{2} d \ A_i  {v_i} \left ( {v_i}^2 - {v_o}^2 \right) $

但是，除了能量守恒还有质量守恒，入射空气质量必须等于通过的空气质量，因此我们有：

$d \ A_i \ v_i = d \ A_o \ v_o $

也就是

 $ｖ_o = \frac{A_o}{A_i} v_i$

将这个关系代入 P 的公式，我们得到 

$P = \frac{1}{2} d \ A_i  {v_i} \left ( {v_i}^2 - {v_o}^2 \right)= \frac{1}{2} d \ A_i v_i \left( {v_i}^2 - (A_i/A_o)^2 \ {v_i}^2\right)\\ = \frac{1}{2} d \ A_i {v_i}^3 \left(1 -(\frac{A_i}{A_o})^2\right)$

观察这个公式与 A_i 的关系，我们看出点奥妙了。其中一项随着A_i 增大，另外一个相乘的却是随之减少。A_i 如果是零，P 是零。但如果A_i 等于 Ａ_o ，P也是零。两头是零，中间不是零，应该有个最大值。"空气动能转换为电能，根据能量守恒，电能最多是空气动能的减少，从这个角度，风速在通过叶片后减速越多，获取电能越多。但是，质量守恒决定了能够通过叶片的空气质量，空气通过叶片后速度越快，通过质量越大。具体的函数 是 x(x^2-1)". 为了简化公式，我们引入一个面积比例 b = A_i/A_o，P 公式于是成为：

$P = \frac{1}{2} d \ A_i {v_i}^3 \left(1 -(\frac{A_i}{A_o})^2\right) = \frac{1}{2} d A_o {v_i}^3\  b (1-b^2)$

上面公式是单位时间风车的动能变化， d 是空气密度，v_i 是入射风速，A_o 最大是风车叶片扫过的圆面积，b 是入射面积比例。下面计算 f= b(1-b^2) 的极值。

 $df/db = 1-b^2 - 2b^2=0$

$3b^2 =1 \\ b = 1/\sqrt{3}$

最大发电功率为：

$P_{max} = P|_{b=1/\sqrt{3}} = \frac{1}{2} d A_o {v_i}^3 [1/\sqrt{3} (1-1/3)] = \frac{1}{2} d A_o {v_i}^3 \frac{2}{3\sqrt{3}}$

上面 $\frac{1}{2} d A_o {v_i}^3 $ 就是入射空气的功率，而最大转换率 为 $\frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 38.4\%$

可见，风车最多能把约 38.4% 的入射空气动能转换为电能。