这篇文章总结了一下群表示理论与粒子自旋之间的关系。自旋的产生是洛仑兹不变性导致的必然结果。而半整数的自旋则是粒子的场方程在复数域描述的结果。从实函数到复函数，必然产生新的满足洛仑兹不变性的内部空间，即半整数的旋量表示。

1. 庞加莱群定义为洛仑兹群与四维时空平移群的半直积。其中四维时空的平移不变性对应能量和动量守恒。而洛仑兹群的六个生成元，分别对应三个空间转动(rotation)和三个洛仑兹变换(boost)。三个rotation相应的守恒量为三维空间的角动量，而三个boosts对应的守恒量似乎没什么用，所以没人提。

2. 洛仑兹群不是紧致的，没有有限维的酉表示。粒子虽然在闵氏空间旋转，但是描述粒子在外部空间中旋转的群结构却不是洛仑兹群，而是它的泛覆盖群，即SL(2,C)群。SL(2,C)群与Lorentz群是2:1的同态，类似SU(2)与SO(3)群的关系。下文说到“洛仑兹群的表示”，指的都是SL(2,C)群的表示。后面会讲到为什么粒子的外部空间不是Lorentz群，而是SL(2,C)群。

3. 一个洛仑兹群的表示，指每个群元素都有唯一对应的矩阵。这种对应不需要是忠实的，但是描述不同粒子种类时则必须是不可约的。表示矩阵可以是实矩阵，也可以是复矩阵。洛仑兹群作用于闵氏时空，但是洛仑兹群的表示矩阵不需要是四维的，可以是任意整数维的。


4. 把一个洛仑兹群的表示看作某个内部空间的转动，则此空间称作这一表示作用的空间，即粒子的自旋空间。每一种洛仑兹群的不可约表示对应一种粒子。物理上讲，粒子在洛仑兹旋转下保持不变，可以是标量，也可以具有内部结构。当坐标系做洛仑兹转动时，内部空间做相应的转动，则可保持粒子的哈密顿量保持不变。此时每个外空间的旋转，都对应粒子内部空间的一个旋转。外部旋转和内部旋转由一种洛仑兹群的表示相联系。


5. 粒子内部空间的旋转称作自旋。自旋具有角动量。有自旋的粒子做空间转动时，需要加上自旋角动量才能保持三维空间的角动量守恒。


6. 洛仑兹群的不可约表示可以按照其其Casimir算符的本征值分类。由于Lorentz群可以看作两个SU(2)群的直积，所以Lorentz群的表示可以由两个半整数表示。比如(0,0)表示对应标量场，(0,1/2)表示对应右手征Weyl旋量，(1/2,0)表示对应左手征Weyl旋量，(1/2,1/2)表示对应四矢量。而Dirac旋量则是两个Weyl旋量的直和。


7. 最后说说为什么描述粒子外部旋转不是Lorentz群而是SL(2,C)群。我是这样认为的。宏观物体有确定的位置和动量，固然要求必须满足洛仑兹不变性。而微观粒子由复函数描述，我们能够观测的仅仅是粒子的测量值。所以即使粒子的场函数不满足Lorentz不变性也没关系，只要粒子的测量值在Lorentz转动下保持不变即可。具体的说就是需要粒子的哈密顿量满足Lorentz不变性。当然，这只是我模糊的看法，具体细节我也不清楚。