在讨论哥德尔不完备性定理的时候，有位友人对我的观点提出不同意见。我以为这样的讨论是非常好的，是很有益处的。友人的意见主要有四点，第一，哥德尔讨论的是形式化系统，而一般的理论系统是非形式化的，所以哥德尔的不完备性定理不适用于非形式化的理论系统；第二，非形式化系统理论的证明，重要的是逻辑和事实，逻辑保证的是从前提到结论的推演的合法性，但是理论的证明往往要落在事实上。所以个别依据在这里并非无关紧要。第三，科学理论的证明就是范例，科学理论的证明用的就是归纳法，从个别（观察、实验）到一般，虽然科学理论不能得到完全的证实，但得到能一定确证度的确证就够了。第四，其实我也同意辩论有时没有什么意义，其理由不是哥德尔的定理，而且辩论双方立场不同，价值观不同，所用前提不同，很难真正交锋。而各自的立场价值观在我们这个年纪恐怕是难以改变了。

对以上四点，我也进行了思考。友人说的肯定是有道理的，但有的事情并不那么绝对。比如，形式化系统与非形式化系统的差别有那么绝对吗？对此，我是有怀疑的。友人以欧氏几何学为例，认为那是个形式化系统，因为有公理，有算法。但非形式化的理论系统就没有这些基本元素了吗？我以为其实也是存在的。

例如，现代西方经济学理论中的理性人假设，就可以看成一条公理。这条公理无法证明，而且其概念也无法定义。因为如果要定义理性，或者定义人，都超出了经济学的范围，再来定性理性人，则一定要用到后面的经济学理论，形成同义反复。理性人看起来是个概念，其实这个概念的展开就是一个判断，或者说是一个命题。再有就是马克思主义唯物史观。最基本的出发点是有着肉体组织的个人。但这个有着肉体组织的个人，并不是只是一个抽象的人，是有着各种社会关系的具体的个人。所以这个概念也是无法做出定义的。后面再来定义现实的人，用的也是唯物史观理论自身的内容。所以最初那个有着肉体组织的个人其实也是无法做出初始定义的。马克思主义政治经济学的第一个概念就是商品。商品如何定义，离不开市场、生产、流通等概念。而这些概念也无一不是政治经济学里的概念。实际上，这些概念拿来定义商品，等于是说商品的初始涵义仍然是无法定义的。所以，商品也可以看成是一条完全能被展开的命题，即公理。

在形式化理论系统内，有了公理，有了自洽的算法，就构成了一个相对独立的逻辑体系。我赞同形式化系统与非形式化系统是有区别的，但我不认为这个区别是绝对的。在非形式化系统里，同样也有类似的结构，有公理与算法。任何一个非形式化的理论系统都是如此。另外即使在经济理论学里，尽管可以用数学模型来描述某些经济现象，但任何数学语言都是可以还原到自然语言的。有的经济学家故意想把这种数学语言放在高于自然语言的位置上，但是实际上，这样的企图本身就是在表示这个理论要比其他理论更像科学而已。这个企图也是有点像把一个非形式化系统描述成类似于一个形式化系统。另外，在形式化系统内部，命题演算和谓词演算同样也是可以还原到自然语言的。没有不可还原到自然语言的形式化语言。也正是在这一点上，形式化系统与非形式化系统的差别才是相对的，而不是绝对的。

形式化系统只讲形式，不讲内容。而非形式化系统不可能不讨论内容。但非形式化系统也有自身的形式。这就是说，暂时抛开内容，单就形式本身来讨论，同样存在着这个系统的不完备性问题。形式化系统有其不完备性，非形式化系统同样也有其自身的不完备性。这一点能有疑问吗？至于非形式化中所涉及的内容问题，因为与形式化系统差异较大，所以不宜与形式化系统相提并论来进行讨论。

至于说到科学理论，其实友人所涉及到的归纳法，或者实验、观察等，看上去都与形式化系统没有太多的关系。但科学理论更多地是从实验、观察，然后用归纳本身就形成了初步的假说。但是，如果只是在非形式化系统内部，这个假说既无法证实，也无法证伪。所以假说的证实与证伪都需要超越这个非形式化的理论系统，即需要通过来自这个非形式化理论系统之外的人的另一种活动来解决证实或者证伪的问题，这种活动就是实践。友人说，科学理论是通过逻辑和事实来证明的。这个说法可能不是太严谨。科学理论无法通过逻辑来证明。因为这个逻辑也是理论的创立人自身所构造的。自身构造的逻辑来证明自身理论的正确，这在本身是可笑的。而事实，只是用某些个别而具体的现实存在物或者现实存在过程来表明这个理论有一定成立的可能，但并不能证明它一定就完全成立而无懈可击。牛顿的力学难道不是如此吗？在经典物理学时期，牛顿力学再怎么辉煌，再怎么无敌于天下，但最终还是被爱因斯坦的相对论揭露得有重大瑕疵。牛顿理论最终成了爱因斯坦理论的特例，就像拉格朗日中值定理成了柯西中值定理的特例一样。其普遍性被打了大大的折扣。

讨论哥德尔不完备性定理与非形式化理论系统的关系，只是一种思考，看看两者之间究竟会有怎样的联系，如果可以用形式化的思维来考察非形式化的问题，那也未尝不可。毕竟多一条思路多一个方法。