1.为什么理论预言引力波速度等于光速？

在上一篇博文中，我写出了电磁波和引力波的波动方程，它们在闵可夫斯基4维时空中的洛伦茨不变表达式是类似的。如果不是考虑波源的辐射性质，只研究两种波在自由真空中的传播性质的话，两个方程的形式完全一样：

图1：光速的定义

上图中的电磁波和引力波方程，其微分算符是4维闵可夫斯基空间中的达朗贝尔算子（类似于拉普拉斯算符，将时空统一考虑时的推广）。达朗贝尔算子中的c，指的是光速。但是，对于电磁波的速度和引力波的速度，读者可能会产生一些疑问。

从物理史的角度考虑，光（或电磁波）的速度最开始是从麦克斯韦方程组推导出来，用电解质和磁介质的参数计算而得到，见上图中最下面框中的公式。那时候看起来，似乎光速c只是电磁波的“专利”。但是，在爱因斯坦建立的狭义相对论中，对光速的理解已经不一样。光速c作为一个（普适的）基本的物理常数（与电磁场无关）进入到理论物理的方程中。所以，当表达物理定律的微分方程被写成4维空间的相对论洛伦茨不变的形式时，往往都包含了c作为一个常数。

不过，所谓“光速”，有其原来的物理意义。首先，它是光（电磁波）在真空中的传播速度，是可测物理量。再则，从经典电磁理论中根据安培定律等实验中总结的规律，它又可以从介质参数（真空的电容率ε₀和磁导率μ₀）计算出来，而这些参数也是可以测量到的。测量总有误差，可测物理量中有一些被规定为基本物理量。爱因斯坦的相对论则将光速作为信息及能量传输速度的极限，将光速不变作为基本假设。

这些有关理论、实验、测量、度量标准等等问题，有时会产生一些互不相容的矛盾之处，或者造成定义循环。在此我们略去历史细节不谈，只介绍目前所使用的有关“光速”的结论。

在1983年的17届国际计量大会上，将数值c=299792458米/秒，作为光速的“定义”。这个数值与当时认为最精确的测量值一致。所以，c是一个没有误差的“精确值”。光速的值固定了，时间和长度又怎么办呢？时间的基准使用铯的辐射周期，即将铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁相对应辐射的9192631770个周期持续的时间定义为一秒。

有了“c”和“1秒”的定义之后，再反过来定义“1米”，即“1米是光在真空中1／299792458秒的时间间隔内所经路程的长度”。总之，后来我们放到达朗贝尔算符等物理方程中的“c”，已经不仅仅是一个与“电磁”作用相关的物理量了。物理学家们已经把光速转换成了一个固定值，把它当成了一把标准的“尺子”来使用。

因此，引力波满足的波动方程中的c，是一个物理基本常数（299792458m/s），不是从测量光速得到的，也不是从真空电容率和磁导率计算而来。

引力波h（度规张量的变化）在真空中传播时，可以分解成平面波的叠加：

h = A*exp(ikx)，

其中A 是振幅，k是4维波矢量，x是时空坐标。将上式代入波动方程中可得到k的基本性质：

K_x²+k_y²+k_z²-k₀²/c²= 0，说明k是一个沿着光锥的矢量，即引力波的速度等于c（定义的光速）。

2. GPS和相对论

这次LIGO探测到引力波，媒体宣称说证明了爱因斯坦的广义相对论。这句话当然正确，但实际上证明相对论的实验证据并不少。狭义相对论就不用说了，从微观到宇观，从量子物理中的实验，到高能加速器及对撞机的应用，各个方面都要涉及狭义相对论效应，至今没有观测到对这个理论破坏的迹象。

验证广义相对论的实验结果和天文观测中的证据也不少，这儿仅仅介绍一下它在一项与我们当今的日常生活紧密相关的GPS（全球定位系统）技术中的应用。

几乎每个使用智能手机的人，或者是开车的人，都知道GPS。现在开车的司机好像已经离不开GPS。记得刚来美国时，如果开车去外面玩，得首先盯着一张大大的地图找半天路，地图上的街名往往太小，还得借助于放大镜，计划好了行程才能上路。后来，有了电子地图的软件（但没有定位系统），可以将地图放大，感觉已经方便多了。在15年之前，我们家买的汽车上第一次装了一个GPS导航仪，花了3千美元，而现在的只要几百美元就足够了。并且，现在在每个智能手机上都有这种导航仪，它不仅方便了司机，对步行走路的人也有很大的帮助。一位朋友的父亲得了老年痴呆症，出了家门经常回不来，朋友给他父亲口袋里放上一个手机，然后，在自己的手机上便出现一个缓慢移动的红点，随时都能清楚地显示父亲当时所在的位置，这样，朋友便放心多了。

GPS是靠24颗卫星来定位的，任何时候在地球上的任何地点至少能见到其中的4颗，地面站根据这4颗卫星发来信号的时间差异，便能准确地确定目标所在的位置。从GPS的工作原理可知，“钟”的准确度及互相同步是关键。因此，GPS的卫星和地面站都使用极为准确（误差小于十万亿分之一）的原子钟，见图2。

图2：GPS的相对论修正

但是，GPS卫星上的原子钟和地球上的原子钟必须同步，否则便会影响定位的精度。相对论是有关时间空间的理论，预言了一定情况下时间的变化。根据狭义相对论，快速运动系统上的钟要走得更慢一些（双生子佯谬），卫星绕着地球旋转，它的线速度大概为每小时1.4万公里。根据图2右边的公式进行计算，将使得卫星上的钟比地球上的钟每天慢7微秒。广义相对论的效应则是因为卫星的高度而产生的。越靠近地面，时空的弯曲程度就越大。所以，卫星上时空的变形要比地面上小，这种效应与狭义相对论的影响相反，卫星位于2万公里的太空中，引力之差别将使得卫星上的钟比地球上的钟每天快45微秒。两个相对论的作用加起来，便使得卫星上的钟比地球上的钟每天快38微秒。

38微秒好像很小，但是比较起原子钟的精度来说，则是相当地大。原子钟每天的误差不超过10纳秒，而38微秒等于38000纳秒，是原子钟误差的3千8百倍。

关键问题是，38微秒的差别将引起导航定位系统的定位误差。所以，GPS系统必须考虑相对论的影响，进行相应的修正。

3. 引力波和潮汐力

下面想澄清对引力波和潮汐力关系的一点误解。

潮汐力的名词来源于地球上海洋的潮起潮落，但后来在广义相对论中，人们将由于引力不均匀而造成的现象都统称为潮汐力。我们所熟知的地球表面海洋的潮汐现象，是因为月亮对地球的引力不是一个均匀引力场而形成的，见图3a。人站在地球上，地球施加在我们头顶的力比施加在双脚的力要小一些（图3b），这个差别使得在我们身体内部产生一种“拉长”的效应。但因为我们个人的身体尺寸，比较起地球来说太小了，我们感觉不到重力在身体不同部位产生的微小差异。然而，在某些天体比如黑洞附近，就必须考虑这点了，这种差异能产生明显的效应，可以将人体撕裂毁灭，见图3c。

 

图3：潮汐力

 

潮汐力是一种引力效应，但并不等于引力波，也不是引力波造成的。如图3所示，潮汐力是因为在物体中引力不均匀而形成，从牛顿万有引力的观点或者广义相对论都可以解释。

当引力波通过物体时，传过来的是时空度规的变化，也等效于造成物体的不同部分经受不同大小的引力，所以，引力波对物体的影响类似于潮汐力。或者说，潮汐力可以由引力波产生，但我们在地球上观察到的潮汐现象只是与“引力“有关，与“引力波”无关。

相关专题：人类首次探测到引力波
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