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相对论与黎曼几何-12-双生子佯谬精选

已有 24642 次阅读 2014-10-24 07:40 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦| 相对论, 佯谬, 双生子

12. 双生子佯谬

爱因斯坦幸运地结交了两位犹太人数学家朋友：闵可夫斯基和格罗斯曼。

赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）是出生于俄国的德国数学家，曾经是爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦理工学院读书时的老师。有趣的是，当时的闵可夫斯基教授很不看好这个蓬头垢面从不认真上课的学生，曾经当面对爱因斯坦说，他“不适合做物理”。不过，当爱因斯坦建立狭义相对论之后，闵可夫斯基却成为了一名对相对论极其热心的数学家。他在1907年提出的四维时空概念，成为相对论最重要的数学基础之一。

一开始，爱因斯坦对闵可夫斯基的四维时空不以为然，但当他结合黎曼几何考虑广义相对论的数学模型时，才认识到这个相对论少不了的数学概念的重要性。

狭义相对论通过洛伦茨变换将时间和空间的概念联系在一起。我们生活的空间是3维的，因为3个数字决定了空间一点的位置。然而，在这个世界发生的任何事件，除了决定地点（即位置）的3个值之外，发生的时间点也是很重要的。如果把时间当作另外一个维度的话，我们的世界便是4维的了，称之为4维时空。其实4维时空也是我们生活中常用的表达方式，比如说，当从电视里看到新闻报道，说到在曼哈顿第5大道99街某高楼上的第60层发生了杀人案件时，还一定会提到案件发生的时间：2014年10月3日6点左右。这儿的报道中提到的5、99、60这3个数字，可以说是代表了事件的3维空间坐标，而发生的时间（2014年10月3日6点）就是第4维坐标了。

尽管物理学家企图将时间和空间统一在一起，但两者物理意义上终有区别，无法将它们完全一视同仁，一定的场合下还必须严格加以区分。于是，天才数学家庞加莱将四维时空中的时间维和空间维分别用实数和虚数来表示。也就是说，将时空用3个实数坐标代表空间和1个虚数坐标描述时间。或者是反过来：用一个实数坐标表示时间和3个虚数坐标表示空间。到底是让空间作为实数唱主角（前者），还是像后面一种情况那样将时间表示为实数，只不过是一种约定或习惯而已。后一种表示方法是本系列文章中将经常使用的。

后来，闵可夫斯基发展了庞加莱的想法，他用仿射空间来定义4维时空。如此一来，就可以在形式上用对称而统一的方式来处理时间和空间。类似于3维欧几里德空间中的坐标旋转，洛伦茨变换成为这个4维时空中的一个双曲旋转。在欧几里德空间中，两个相邻点之间间隔的平方是一个正定二次式：

ds² = dx² + dy² +dz²，

但这点不适用于闵可夫斯基时空，理由很简单，因为时空中的坐标除了实数之外，还有了虚数。根据刚才的约定，闵可夫斯基时空中两个相邻点之间间隔的平方变成了：

dt² =dt² - dx² - dy² - dz²，

这儿的dt被称为固有时。不同于欧几里德度规，闵可夫斯基时空的度规是“非正定”的。这种非正定性也导致闵氏空间具有了许多不同于欧氏空间的有趣性质。

从物理的角度，时间和空间的最根本不同是时间概念的单向性。你在空间中可以上下左右四面八方随意移动，朝一个方向前进之后可以后退再走回来。但时间却不一样了，它只能向前，不会倒流，否则便会破环因果律，产生许多不合实际情况的荒谬结论。

爱因斯坦的狭义相对论将时间和空间统一起来，彻底改变了经典的时空观，由此也产生了许多“佯谬”，双生子佯谬是其中最著名的一个。

根据相对论，对静止的观测者来说，运动物体的时钟会变慢。而相对论又认为运动是相对的。那么，有人就感到糊涂了：站在地面上的人认为火车上的人的钟更慢，坐在火车上的人认为地面上的人的钟更慢，到底是谁的钟快谁的钟慢啊？之所以问这种问题，说明人们在潜意识中仍然认为时间是“绝对”的。尽管爱因斯坦先生将同时性的概念解释得头头是道，听起来也似乎有他的道理，但是人们总觉得有问题想不通，于是，便总结出来了一个双生子佯谬。最早是由朗之万在1911年提出的。

话说地球上某年某月某日，假设在1997年吧，诞生了一对双胞胎，其中哥哥（刘天）被抱到宇宙飞船送上太空，另一人（弟弟刘地）则留守地球过普通人的日子。宇宙飞船以极快的速度（光速的四分之三）飞行。根据相对论的计算结果，在如此高的速度下，时间变慢的效应很明显，大概是3比2左右。所谓“时钟变慢”，是一种物理效应，不仅仅是时钟，而是所有与时间有关的过程，诸如植物生长、细胞分裂、原子震荡，还有你的心跳，所有的过程都放慢了脚步。总之就是说，当自认为是在“静止”参考系中的人过了3年时，运动的人却只过了2年。按照地球人的计划，1997年发射的那艘宇宙飞船，将于30年之后掉头反向以同样的速度飞回地球。因此，总共经过地球上60年之后，2057年，一对双胞胎能够再见面啦！那时候，地球上的弟弟刘地已经60岁了，但一直生活在高速运动的飞船中的哥哥刘天却只过了40个年头，人到壮年，风华正茂的年月。不过，有人便说：刘天会怎么想呢？爱因斯坦的狭义相对论不是说所有的参考系都是同等的吗？刘天在飞船中一直是静止的，地球上的弟弟却总是相对于他作高速运动，因此，他以为弟弟应该比他还年轻许多才对。但是，事实却不是这样，他看到的弟弟已经是两鬓斑白、老态初现，这便似乎构成了佯谬。无论如何，我们应该如何解释刘天心中的疑惑呢？

图2-12-1：双生子佯谬和同时性

首先，刘天有关狭义相对论的说法是错误的。狭义相对论并不认为所有的参考系都等同，而是认为只是惯性参考系才是等同的。刘天所在的宇宙飞船的飞行过程分成了飞离地球和飞向地球这两个阶段，每一段过程相对于地球而言都是作匀速运动，都能够分别当作是惯性参考系，但整个过程却不能在一起作为一个统一的惯性参考系。既然出发又再回头的宇宙飞船对整个过程而言并不是一个惯性参考系，刘天便不能以此而得出刘地比他年轻的结论，因而“佯谬”不成立。当刘天返回地球时，的确会发现地球上的弟弟已经比自己老了20岁。如果设想宇宙飞船的速度更快一些，快到接近光速的话，当它再次返回地球时，的确就有可能出现神话故事中描述的“山中方一日，世上已千年”的奇迹了。

我们可以使用刚才介绍的闵可夫斯基时空，更为仔细地分析这个问题。不过，我们并不需要画出4维的图形，只需要像图2-12-1b所示的，画出一个时间轴t加一个空间轴x，就足以说明问题了。

图2-12-1b中用黑线标示的直角坐标系（t，x）是地球参考系中的坐标。在这个坐标系中，两个双生子的时空过程，可以分别用他们的“世界线”来表示。什么是世界线呢？就是某个事件在时空中所走的路径。用这个新名词，以区别于仅仅是空间的“轨迹”或者仅仅时间的流逝。比如说，刘地在地球上一直没有动，所以他的世界线是沿着t轴，从出发点O->A ->C->D，图中是一条垂直向上的直线。而宇宙飞船中的刘天的世界线在图中是从O ->B ->D的一条折线。

也就是说，两个双生子的世界线都是从O到D，这是标志他们交汇见面的两个时空点：分别对应于出生时（O）和地球上60年之后（D）。两人的世界线中的一条是直线，一条是折线，这又说明什么问题呢？读者可能会认为：折线不是比直线要长吗？这点在普通空间是正确的，在“时空”中却未必见得，那是因为在这个2维时空中的距离平方：

dt²=dt²-dx² （2-12-1）

的原因，而在普通2维坐标空间中：

ds²=dx²+dy² （2-12-2）。

公式（2-12-1）中时空度规中的负号造成了时空空间的一些奇特性质。

首先，我们用图2-12-1b，观察解释一下时空中同时概念的相对性。对地球参考系（黑线直角坐标）而言，同时的点位于平行于x轴的同一条水平线上。比如说，地球上2012年发生的事件都在标志了“t=15年”的那条水平线上。这段时间内，宇宙飞船相对于地球作匀速运动，可以看作是一个惯性参考系。飞船参考系的坐标相对于地球参考系的坐标来说有一个旋转，如图中红色的斜线所表示。读者务必注意，这儿的所谓“坐标轴旋转”，也不同于普通空间中的旋转，被称之为“双曲旋转”，因为在闵可夫斯基时空中坐标变黄时需要保持光速不变，所以，当时间轴顺时针转动时，空间轴需要逆时针转动。在刘天的飞船参考系中看起来，平行于x’的红色斜线才是等时线。比如说，可以看看图中的A、B、C这三个事件。地球上的刘地看来，C和B是同时发生的，都发生在地球上的2027年，C点对应于自己30岁了。在宇宙飞船上的哥哥刘天呢，本来也应该是30岁，但是他的飞船时间过得慢，所以，哥哥只有20岁。飞船上的刘天怎么说呢？他不认为C和B是同时的。按照他的红线坐标，B和A才是同时的，B点对应于自己20岁，与B同时的是A点，弟弟相对于我，是运动的，时间应该更慢，所以，他还不到20岁。

在图中的这两个坐标系中（黑色和红色的），两个人的说法都是正确的，每一个人都观察到对方坐标系中的时钟比自己的更慢，从而都可以得出对方比自己更年轻的结论。但是，处于这样两个相互作匀速直线运动参考系中的双胞胎，出生且相互分离之后便永远不可能再见面，因而也就不可能构成前面所述的佯谬。不过，读者可能会说：他们虽然不能见面，但是可以通电话呀，在电话中他们互相一问，不就知道对方多少岁了么？然而，狭义相对论认为信息的速度不可能超过光速，当他们以光速通话时，也需要考虑他们之间的距离以及同时性的问题，对此我们就不进一步分析了。

在我们的故事中，地球上过了30年之后，太空船掉头向地球飞来，但这时的飞船参考系，已经不同于原来红线坐标的那一个了。要使太空船掉头达到反方向的速度，加速和减速的过程是必不可少的。在这个过程中的刘天感觉将如何？是不是被压扁或撕裂了啊？还能那么年轻力壮吗？我们且不去考虑这些种种问题，仅仅从狭义相对论时钟变慢的效应来估算他的年龄而已。

那么，既然在双生子佯谬中需要考虑宇宙飞船的加速度，是不是需要广义相对论的知识才能解释清楚它呢？也不是这样的。用地球参考系的2维时空图就可以解释清楚了。这儿，首先需要介绍一下在相对论中很重要的“固有时”概念。

图2-12-2：固有时和坐标时的区别以及与弧长的类比

固有时，或称原时，也就是公式（2-12-1）中的t，在（2-12-1）中表示的是微分形式的dt，一段有限长度的固有时可用积分来计算得到。将公式（2-12-1）和（2-12-2）比较一下可知，固有时t类似于普通空间中弧长s的概念。在普通空间中，弧长s表示一条曲线的长度，或者说是一个人走过的路径的长度。设想如图2-12-2a的旅行者（太空人），带着自己的时钟和卷尺（计步机），一直记录他走过的距离和时间。他的计步机（或卷尺）计算测量他走过的距离，而他的时钟所记录的，就是固有时，见图2-12-2c。从图2-12-2b可以看出固有时和坐标时的区别，坐标时是事件之外的观察者使用某个参考系而记录的事件发生的时间，固有时则是旅行者自己携带的时钟记录的时间。此外，固有时与弧长不同之处是：普通空间的弧长一般比坐标数值更大，但固有时却比坐标时更小，其原因从公式（2-12-1）中显而易见，正是因为度规中空间坐标和时间坐标间的符号差。换言之，固有时用以描述时空中两个事件之间流过的时间，这个时间被赋予事件自身的时钟所测量。因而，测量结果不仅取决于两个事件对应的时空点位置，而且也取决于时钟参与其中的具体过程。再表达得更简要一点，固有时是时钟的世界线长度。

实际上，我们之前学过了黎曼几何，对固有时的概念不难理解，它就是对应于在黎曼几何中经常强调的内蕴几何不变量：弧长s。对广义相对论重要的内蕴性质，在狭义相对论中也很重要。

如何来计算两个双胞胎在重逢时各自度过的真实年龄呢？结论是：计算和比较他们在两次相遇之间的固有时。因为固有时t是内蕴不变的，这个计算可以在任何一个参考系中进行，都将得到同样的结果。每个人的年龄是由他身体的新陈代谢机制决定的，他的身体内有一个生物钟。人体处于各种运动状态（静止或运动、加速或减速）时，他的生物钟便会随着变化，或减慢，或加快，这便可以作为每个人自己带着的“时钟”。下面，我们首先用地球参考系来考察两个双胞胎在两次相遇之间的固有时。刘地一直停留在地球上没有移动，他的世界线是地球参考系中时间轴上的一段，这个参考系中，他的固有时也就等于坐标时，等于60年。而刘天的世界线是图2-12-2c右图中的OBD折线。折线中每一段的长度是20年，两段相加等于40年。所以，两个双生子在D点见面的时候，刘天40岁、刘地60岁。

从以上的分析可以体会到利用“固有时”来计算此类问题的方便之处。我们并不需要仔细考虑每个事件的过程，不需要详细去分析刘天的宇宙飞船哪一段是匀速，哪一段是加速，等等繁琐的细节，比如图2-12-2c右图中的另一条从O到D的弯弯曲曲的曲线，如果那是刘天的宇宙飞船的时空轨迹的话，只需要在地球参考系中计算这条线的固有时，那便就是刘天的年龄了。

如果不用地球参考系，使用宇宙飞船离开地球匀速运动的参考系，或者是返回时的匀速运动参考系，也都可以验证以上结果。三种情形得到同样结果：刘天40岁、刘地60岁。见图2-13-2。