4. 数学的诗篇

欧拉-拉格朗日方程是泛函有极值的必要条件，它的建立使变分法与微分方程联系起来，变分法与欧拉-拉格朗日方程代表的是同一个物理问题。因此，这两种方法可以互相转化。通过解微分方程能得到变分问题的解，而当微分方程的边值问题难以求出解析解的情形下，变分原理给出的数值近似解提供了一种切合实际的应用方式，比如现在在物理及工程中应用广泛的有限元法便是一例。

之后，对各种偏微分方程的研究导致了数学物理方程的建立，偏微分方程成为各个物理领域的基石。什么是偏微分方程？未知函数只含一个自变量的导数的方程叫做常微分方程，如果方程中包含多于一个自变量的导数的话，则就是偏微分方程。

历史上研究最早的偏微分方程是波动方程，从研究乐器中弦的微小横振动开始。那个时代的大多数数学家和物理学家也喜欢音乐，对音乐的爱好促成了他们对弦线振动规律的研究。好几位数学家都对弦振动问题作出过贡献，达朗贝尔1747年向柏林科学院提交的论文《弦振动形成曲线的研究^》【1】被视为此领域的经典。

法国人达朗贝尔（Jeanle Rond d’Alembert，1717—1783 ）有一个悲惨的身世。他是一位军官和法国女作家、当时颇为著名的沙龙女主人唐森的私生子，出生后数天便被母亲遗弃在教堂的台阶上，所以以教堂的名字而命名。后来，达朗贝尔的生父安排一个装玻璃工人的家庭收养了他的儿子，并一直暗中资助，给予抚养费，使达朗贝尔从小能受到良好的教育。

达朗贝尔兴趣广泛，除了数学和物理之外，还研究过心理学、哲学、及音乐理论，并都有所建树。后来，达朗贝尔致力于编纂法国《百科全书》，是法国百科全书派的主要首领。尽管达朗贝尔对科学的许多方面都做了杰出贡献，是法国当时的著名人物，但因为他生前反对宗教，死后巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。

弦线的运动不同于当时研究最多的牛顿经典力学中单个粒子的运动轨迹，而是要研究一条弦线上所有（无穷多个）质点的运动轨迹。所幸当时已经有了微积分的概念，因而可以抽象地把一条弦想象成由很多段极微小的部分组成。如图1a所示，这些部分的x位置各不相同。运动时，每个x位置不同的一小段弦线的高度U随时间变化的规律也不一样，因此，整条一维弦线的运动可以用一个两个变量的函数U（x，t）来描述。

图1：（a）弦线（b）弦上波动的传播（c）不同的初始条件

1727年，英国数学家布鲁克·泰勒和约翰·伯努利都分别得到了弦振动的方程，也就是一维的波动方程：

U_tt-α²U_xx=0，                                                     （1）

这儿U_tt和U_xx分别表示U对t的二阶偏微分和U对x的二阶偏微分。

弦振动方程中包含了未知函数对两个自变量的微分：U对t的微分，以及U对x的微分，因而，它是一个偏微分方程。

1747年，达朗贝尔给出了弦振动方程（1）的通解：

U = φ(x+αt)+Ψ(x-αt)                                    （2）

所谓通解，就是说实际解有无穷多个，必须由一些附加条件（初始条件和边界条件）来决定具体物理问题的具体解。

公式（2）后来被称为达朗贝尔解，其中的φ、Ψ为任意函数，而φ(x+αt)和Ψ(x-αt)分别代表沿-x方向和沿+x方向以速度α传播的波。函数φ、Ψ的具体形式可以由振动的初始条件决定。比如，对乐器上的弦来说，初始条件就是演奏者拨动琴弦的方式。对同样的弦乐器，用薄片拨动和用弓在弦上拉动，效果是不一样的，这就是因为两种方法给出了两种不同的初始条件（图1c），然后，初始扰动沿着琴弦传播，如图1b所示，使人听起来便有了不同声音的感觉。

我们在日常生活中对波动的传播早有体会，“一石激起千层浪”描述的是水波的传递，振动在琴弦上的传播可以类似于在一根绳子上传递的扰动：当我们用力上下抖动一条另一头固定了的绳子，就会发现在绳子上形成一个又一个向前传播的波，抖得越快波浪就越密，也会传得越快。

继达朗贝尔得出弦振动方程的通解之后，欧拉在1749年考虑了当弦线的初始形状为正弦级数时的特解，那是正弦级数的叠加。1753年，丹尼尔·伯努利在欧拉结果的基础上，对此提出一个新观点，他猜测弦线的任何初始形状都可以表示成正弦级数，因而弦振动所有的解都可以用正弦周期函数的线性组合来表示。现在看来，这不就是傅立叶变换的思想吗，但当时这个观点却招到欧拉和达朗贝尔的强烈反对，在数学家中引起了激烈的争论。

1759年，拉格朗日也对谐波叠加表示信号的想法提出强烈反对。他认为这种方法没多大用处，他的理由是：要知道实际信号并不像绳子和琴弦啊，信号是会中断的！就好比是正在演奏时突然断了的一条弦，拉格朗日说，你怎么用三角函数来分析断了的弦呢？

长江后浪推前浪，又过了差不多50年，拉格朗日的学生傅里叶登场了。

现在回顾起来，微积分创立之后的18、19世纪欧洲数学界，的确群雄聚集，热闹非凡。在微积分的两位祖师爷牛顿和莱布尼茨当初吵得不可开交的时代里，牛顿的威望不可一世。但在微积分理论被完善发展的年代，却大多数都是莱布尼茨的门徒们的功劳，如前面我们叙述过的约翰•伯努利和雅各布•伯努利，都是莱布尼茨的学生。后来的欧拉、丹尼尔•伯努利，以致法国的达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶……等等，都是莱布尼茨这边一脉相承的后继之人。相形之下，牛顿下面很有出息的门徒甚少，颇似孤家寡人，见图2。

为何莱布尼茨一派桃李芬芳，牛顿旗下却后继无人呢？其原因一方面与英国的保守观念有关，另一方面也与两位大师的风格相联系。英国一派坚持牛顿所用的几何方法，甚至坚持使用牛顿“流数术”的语言，大有固步自封的味道。而莱布尼茨一派后来则朝分析的方向大步向前发展。几何方法虽然直观易懂，发展毕竟缓慢且有限。由莱布尼茨创立，欧拉、拉格朗日等发展的分析学（analysis），促成当时非英国派数学家作出了不少开拓性的贡献。所以，要学好数学和物理，不能只靠几何和直观，分析还是要学，数学公式还是少不了的。

图2：十七-十九世纪欧洲几个主要的数学精英

那个时代的有名数学家中，不少是法国人，法国是一个注重数理演绎、具有数理科学传统的国家。约瑟夫•傅里叶（JosephFourier，1768－1830）也是法国数学家。他出身贫民，9岁时父母双亡，由教会提供他到军校就读，在学校里傅里叶表现出对数学的特别兴趣和天分，但法国大革命中断了他的学业。大革命中，他曾经热衷于地方行政事务，也曾经跟随拿破仑远征埃及，后来被拿破仑授予男爵称号。在几经仕途沉浮之后，傅里叶最后于1815年，拿破仑王朝的尾期，辞去了爵位和官职，返回巴黎全心全意地投入数学研究。

不过，傅里叶的最重要成果，广为人知的傅立叶级数和傅立叶变换，是他在大革命期间从政当官时业余完成的。他当时热衷于热力学的研究，为了表示物体的温度分布，他提出任何周期函数都可以用与基频具有谐波关系的正弦函数来表示。现在我们得知，这个结论不是十分正确的，他的学生狄利克雷后来对此结论进行修正，并给出了完整的证明。狄利克雷将“任何周期函数”修正为满足狄利克雷条件的周期函数，即对有限区间上只有有限个间断点的函数。1807年，傅立叶就他的热力学研究结果向法国科学院呈交了一篇长长的论文。但这篇文章遭到当时几个数学权威的反对未曾发表。这其中特别是拉格朗日，仍然坚持他50年前的观点。傅立叶将文章改了又改，最后得以发表，并最后形成了《热的解析理论》这部划时代的著作^【2】。

傅立叶的理论源于音乐，从描述琴弦振动开始，后来由于对热传导的研究而发展建立，但它的效果和影响远远不止于此。傅立叶等，甚至包括当代的数学家、物理学家、工程师们，将这个理论扩展完善成了一个庞大的家族：从傅立叶级数、傅立叶变换，到傅立叶分析；从周期函数开始，到非周期的、连续的、离散的、模拟的、数值的、快速的、短时的、时间的、空间的、多维的……。当代的文明社会，各种“信息”漫天遍地，无所不在；而为了处理“信息”、以支撑这个文明大厦的科学技术领域中，傅立叶的家族成员也比比皆是，无所不在！

图3：信息工程中经常使用的：将矩形波信号展开成傅立叶级数

傅立叶在他的热理论中所用的分析方法，包括傅立叶理论，无疑是数学物理中一首绝美的诗篇。

刚才还说过莱布尼茨底下人才济济，牛顿则比之不足。不过，傅立叶的工作对英国人格林（Green,George, 1793-1841）的影响很大，格林把数学分析应用到静电场和静磁场现象的研究。之后又有哈密顿（Hamilton,WilliamRowan, 1805- 1865）、斯托克斯（Stokes, George Gabriel, 1819- 1903）、威廉·汤姆孙（WilliamThomson,，1stBaron Kelvin，1824-1907）等人，剑桥学派的崛起为英国人争了一口气，扳回了战局！

与傅立叶同时代（晚十年左右），有另一位法国数学家泊松（Siméon Denis Poisson，1781-1840），是拉格朗日最欣赏的学生。泊松也对数学物理做出了非凡的贡献，在理论物理中留下不少他的大名：泊松分布、泊松括号等等。此外还有泊松方程，是数学物理中除了波动方程及热传导方程之外的另一类常见的二阶偏微分方程。

泊松方程（椭圆型）：α²U_xx+b² V_yy = 0，                                        

波动方程（双曲线型）：U_tt-α²U_xx=0，                                                  

热传导方程（抛物线型）：U_t- kU_xx = 0，                                                

类比于用系数判别式将平面上的二次函数归类为椭圆、双曲线和抛物线，线性二阶偏微分方程也可以由其系数判别式的性质而被分类为椭圆型、双曲线型和抛物线型。上面所写的泊松方程、弦振动方程和热传导方程便是这几种类型偏微分方程的最简单例子。

参考资料：

【1】D'Alembert(1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise envibration" (Researches on the curve that a tense cord forms [when] setinto vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettresde Berlin, vol. 3, pages 214-219.

http://books.google.com/books?id=lJQDAAAAMAAJ&pg=PA214#v=onepage&q&f=false

【2】JosephFourier, The Analytical Theory of Heat (Dover Phoenix Editions) (1878).

http://www3.nd.edu/~powers/ame.20231/fourier1878.pdf

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