10.  把玩数学狄拉克惜字如金

       假设能海正电子预言成真

那是1925年，玻恩和约尔当刚刚从海森堡的计算中得出了许多好结果，却收到一个他不知道的年轻英国物理学家撰写的论文副本。这人名叫保罗·狄拉克（Paul Dirac，1902-1984）。紧接着，狄拉克发表了他量子力学的第一篇论文，令玻恩惊讶的是，其中已经包含了比他和约尔当在文章中使用的更为抽象的数学语言。

原来狄拉克是从海森堡得花粉热后，去剑桥访问时做的一个小型报告中得知矩阵力学的，狄拉克散步时，脑海中总在盘旋着海森堡那个奇怪的乘法规则：p×q≠q×p。并且联想起了经典的泊松括号，与此不是很相似吗？

所以，实际上，量子力学当初是由三套马车拉着诞生的：海森堡、薛定谔、狄拉克。尽管当年，狄拉克的知名度似乎不如海森堡和薛定谔，但这个年轻的英国人很快就在量子江湖上崭露头角。

·狄拉克“单位”

图10-1：沉默寡言的狄拉克和夫人

狄拉克出生于英格兰的布里斯托，他的风格是以精确和沉默寡言而著称。你听过“狄拉克单位”吗？它不是狄拉克在物理学中的创造，而是当年剑桥大学的同事们描述狄拉克时所开的善意的玩笑，因为他们将“1小时说一个字”定义为1个“狄拉克单位”，来描述狄拉克的少言寡语。

狄拉克的母亲是英国人，而父亲是来自瑞士的移民。父亲是一位法语教师，对家人严厉而专制，例如，他规定孩子们要说法语，使得家人之间交谈极少，家中完全没有了社交气氛。父母加兄弟姐妹无言以对的场景，小狄拉克司空见惯，并且还以为每个家庭都如此！狄拉克和哥哥费利克斯曾经同在一所大学学工程，兄弟俩街头碰见擦肩而过也互不言语。直到后来，1925年，哥哥因抑郁症自杀身亡，而引发了父母的极度悲伤，才第一次深深地触动了狄拉克，方知不言不语的家人之间，心中尚有真情在！

狄拉克惜字如金的习惯，使他的文章形成特殊的风格：言简意赅，没有废话。这点杨振宁先生在他的文章和演讲中经常多次提到。杨先生在他的《物理学与美》的文章中说^【1】，狄拉克的文章给人以‘秋水文章不染尘’的感受……。在另一个场合，杨先生又用高适在《答侯少府》中的诗句：“性灵出万象，风骨超常伦。”来描述狄拉克方程和反粒子理论。认为狄拉克方程确实包罗万象，而又能让人感受到其中喷发而出的灵感。

狄拉克特别追求物理规律的数学美，比较科学和诗，他有一段精彩评论，令人听后不由得芜尔一笑。他说：“科学是以简单的方式去理解困难事物，而诗则是将简单事物用无法理解的方式去表达，两者是不相容的。”海森堡与狄拉克个性迥异，海森堡喜欢社交，在晚会上经常与女孩子跳舞，狄拉克静坐旁观后，问海森堡为何这么喜欢跳舞，海森堡说：“和好女孩跳舞是件很愉快的事啊！”狄拉克听后沉思无语，好几分钟之后冒出一句似乎与量子力学之“测量”以及“不确定性关系”有点关联的话：“还未测试，你如何能判定她是，或不是好女孩呢？”

图10-2：狄拉克和海森堡

狄拉克不仅言稀语少，文不染尘，性情品格也是超脱不群，几乎是一位独一无二的“纯洁”科学家！当他获知自己赢得了1933年的诺贝尔物理奖时，对卢瑟福说，他不想出名，想拒绝这个奖。卢瑟福对他说：你如果拒绝了，更会出名，别人会不停地来麻烦你。听了卢瑟福的话，狄拉克才欣然前往，在领奖典礼上作了一个‘电子和正电子理论’的报告。据说英国皇室曾经册封狄拉克为骑士，可是狄拉克却拒绝了，只因为他不想让自己名字加上一个前冠。

有一次，狄拉克作完报告后学生提问题，一个学生说：“你黑板上那个方程我看不懂”。狄拉克半天不作声，主持人提醒他“请回答问题”，狄拉克却说：“他的话是一句评论，不是问题！”

狄拉克是一个纯粹的真正学者型人物，波尔曾说：“在所有物理学家中，狄拉克拥有最纯洁的灵魂。”他除了不说废话之外，物质生活上也极为简单，不喝酒、不抽烟、只喝水，别无他求。其它方面的兴趣也很少。最大的业余兴趣就是‘散步’ ^【2】。

狄拉克在散步中，散出了若干项成果，有数学的、物理的、工程的。即使就在量子力学范围内，也有方程、有符号、有预言，可谓不胜枚举。下面我们不按时间顺序，先介绍一个简单的。

·狄拉克δ函数

学物理和工程的，大凡没有不知道狄拉克δ函数的。如图10-3所示， δ函数最为简单直观的定义，是被如下两点特性表述：

1，零点为无穷大，其它都是零的实数变量函数；

2，整个函数在实数轴上积分为1。

如将δ函数用在许多具体运算上，你会觉得它十分地好用，甚至会感到非常地美妙，让你真切地体会到狄拉克本人无比欣赏的“数学之美”！举一个狄拉克名言，以说明他对数学美的极端追求。在1963年《美国科学人》的一篇文章中，他写出如此超凡脱俗的话：“使一个方程具有美感比使它去符合实验更重要！”

图10-3：狄拉克δ函数

狄拉克是在发展量子力学的过程中使用狄拉克δ函数的。狄拉克形式地将泊松括号拆开，创造了表示量子态的著名的左矢<|、右矢|>、等“狄拉克符号”，并以此发展出一个漂亮的量子力学符号运算体系，最终导致冯·诺伊曼（von Neumann）提出用抽象的希尔伯特向量空间来构建量子理论的数学基础。

事实上，狄拉克并不是第一个想到类似的δ函数，早在1827年，柯西就首次明确地写过一个“无限高的单位脉冲函数”。狄拉克是为了更为方便地让人们使用希尔伯特向量空间中的线性算子，将空间中的向量表示成特征向量的线性组合。在他的《量子力学原理》一书中，第一次正式将δ函数写成如今的形式。因此，后来大家就称其为狄拉克δ函数。

也许只有像狄拉克这样集物理学家、数学家、工程师于一身的人，才有胆量创造出来如此美妙的“函数”，以至于大大惊动了做数学的人们，不想承认这个不符合经典函数理论的怪异函数！不过，最终，δ函数在物理和工程中被众人喜爱且被广为应用，成为科学家和工程师们处理不连续情形时最强有力的工具。这时候，数学家们才来紧跟着忙乎了一阵子，就此而让它严格化，使它成为了最早定义的“广义函数”，并由此也帮助了数学家们，启迪了泛函分析这个函数论发展中的重要分支。这个事实再一次证明了：物理学家“离经叛道”发明的数学工具，往往能够出其不意地推动数学的发展。

据狄拉克自己声称，大学时代接受的工程教育对他的研究工作影响深远，使他明白了做科学研究时要“容许近似”。近似的理论照样表现出惊人的‘数学美’，狄拉克-d函数即为一例。

·狄拉克方程

1933年，狄拉克与薛定谔分享诺贝尔物理奖，因为他们都为量子力学建立了方程：狄拉克方程和薛定谔方程。

薛定谔一开始，是想搞一个相对论性的方程（即后来的克莱因—高登方程），但他没成功。不过薛定谔很聪明，退而求其次，根据牛顿力学中能量-动量的关系，首先弄了个非相对论的方程，这就是著名的薛定谔方程。薛定谔方程在低能非相对论的条件下，居然还出奇地好用，解决了微观世界的许多物理难题。

最终解决粒子的相对论性波动方程问题的是狄拉克。狄拉克方程又一次表现出这位天才学者追求的数学美，他将粒子的自旋内涵，自动地包括在方程中！

狄拉克想，如果从相对论经典粒子应该满足的能量动量关系式出发：

P²c² + m²c⁴ = E²                                        

将E和P换成量子力学中的微分算符的话，便得到下面方程：

这就是克莱因-戈登方程，但人们发现它实用价值不大，还会导致解释不通的负几率和负能量问题。这是为什么呢？狄拉克敏锐地感觉到，问题出在时间的二阶微分上。狄拉克异想天开：为什么不将微分算符进行一个开方运算呢？

Sqrt（P²c² + m²c⁴） = E

狄拉克还真就这么“形式的”做了，于是便得到了著名的狄拉克方程：

狄拉克方程的优越性是将相对论和电子自旋自动地隐含其中。

·狄拉克海

狄拉克对量子理论的贡献可说是无与伦比。他在1925-27年所做的一系列工作为量子力学、量子场论、量子电动力学，及粒子物理奠定了基础。

狄拉克喜欢单独一人玩数学，摆弄方程式，量子力学在他神奇的手里玩来玩去，最终被极为美妙地数学化、形式化。他将众物理学家们养大的这个‘量子妖精’，用逻辑清晰，简洁而奇妙的数学理论，装扮成了一个清纯美丽的天使。

狄拉克在1928年，发表了他的相对论性电子运动方程，即上面介绍的狄拉克方程，实现了量子力学和相对论的第一次综合。这个方程不会像克莱因-戈登方程那样，导致负数几率的出现，并且与电子快速运动的实验符合得很好，得到物理学界的认可。

狄拉克方程中，将旋量的概念引进量子力学，之前一年，泡利也曾经用‘旋量’来解释电子的自旋，但狄拉克通过狄拉克方程，更系统、更美妙地描述了电子这一个极其重要的内秉性质，充分体现出量子理论的‘数学美’。

不过当时，狄拉克方程的解中，仍然有一个结果令狄拉克困惑。这点和克莱因-戈登方程一样，会导致电子可以具有‘负能量’状态的荒谬结论。因为如果存在这种状态的话，所有的电子便都可以通过辐射光子向真空中这个最低能态跃迁，这样一来，整个世界应该在很短的时间内毁灭。为了克服这一困难，狄拉克发挥了他天才的想象能力，他想象我们世界所谓的‘真空’，已经被所有具有负能量的电子填满了，只是偶尔出现一、两个‘空穴’。因为最低能量态已经填满了，电子便不可能跃迁，由此而避免了世界毁灭的结论。他给这个被负能量电子填满了的真空，取名叫做狄拉克海（Dirac sea）。而狄拉克海中偶尔出现的‘空穴’泡泡又是什么呢？狄拉克说，那些空穴应该在所有方面，都具有和负能量的电子相反的性质，那就是说：一个‘空穴’，应该是一个电荷为正，能量为正的粒子。如果我们世界中的正能量电子，碰到这样的‘空穴’，就会辐射光子而向这个偶然出现的负能量跃迁，最后结果是电子没有了，空穴也没有了，它们的能量转换成了光子的能量。说到这儿，很多读者都想到了，这就是我们现在所说的：电子碰到正电子时，发生的‘湮灭’现象。那么，‘空穴’不就是物理学家们后来称之为正电子的东西吗。

当时的狄拉克，也许只是为了追求他的理论的数学美，而作出的能自圆其说的美丽假设。可没想到，在1932年，从美国加州理工学院传来一条令人吃惊的消息：卡尔·戴维·安德森（Carl David Anderson）在研究宇宙射线的云室里，发现了一种与狄拉克假设的‘空穴’一模一样的新粒子-正电子！这是人类第一次发现的反物质，

狄拉克的负能量电子海假设，预言了正电子，启迪人们对其他反物质的设想，也导致科学家们对真空的重新思考。狄拉克海与反粒子预言是现代理论物理最高成就之一，这项成果来自于数学的力量，来自于狄拉克追求的数学美。1970年，将近70岁的狄拉克受聘来到美国弗罗里达州立大学，14年后，他长眠于弗罗里达，留下他毕生追求的数学美照耀人间。

参考资料：

【1】杨振宁，《美与物理学》http://www.cuhk.edu.hk/ics/21c/media/articles/c040-199702001.pdf

【2】张天蓉，狄拉克欣赏的数学美：http://www.sohu.com/a/120149335_224832

（本文在微信公众号赛先生同步刊登：https://wemp.app/posts/a45ab0c1-6752-469d-816e-f5009a24ad32）