混沌自转-星星背后的物理15

上一篇介绍了月亮和地球的“潮汐锁定”。引力对于“非质点”物体的“潮汐”效应使得月球永远只将它的一面示于地球，这是月亮自转公转周期以1:1锁定的结果。在太阳系的行星及卫星中，类似的锁定例子非常多，并且，锁定的比例也不见得一定是1:1，可能是3:2、4:3、……或许是其它整数比。还有可能是好几个“锁定”的合成效应，那时需要将多个整数比值相加。因为宇宙（太阳系）是一个多体系统，只是在一定的情况下，才用2体（或3体）模型来近似，得以方便研究它们而已。牛顿引力的“2体（质点）问题”，有很漂亮的，轨道为解析圆锥曲线的精确解。然而，对3体系统，即使将3天体全当作质点，大多数时候也带给我们难以解决的数学问题，见下文的“庞加莱3体问题”。如果再将天体看成有形状有大小、会自转的刚体，便更为复杂了。但这种复杂性却为我们展示了非常有趣的运动图景，其中之一便是此篇将介绍的“混沌自转”。

什么是混沌？

首先简要介绍什么是混沌。

科学界使用“混沌”一词，描述非线性动力学系统的“不可预测性”。这种不可预测导致某些看起来“乱七八糟”无规律的行为。按照二十世纪之前人们理解的经典牛顿力学，宇宙似乎可以被想象成一个巨大的机器，是有序、规则、可预测的。只要初始条件给定了，所有天体将来的运动都完全可知和可预测。但之后的深入研究表明，在很多情况下，初始条件的些微改变，将造成完全不同的结果，即“差之毫厘，失之千里”。这个领域的开创人是美国科学家爱德华·洛伦茨（1917年-2008年），他在气象研究中发现混沌现象，发现气象预报对初始条件的无比敏感性。如何直观地解释这种敏感性？好比是美国纽约的一只蝴蝶扇了扇翅膀，就可能在大气中引发一系列的连锁事件，从而导致之后的某一天，中国上海将出现一场暴风雨！因此，后来人们也将混沌称为“蝴蝶效应”^【1】。

蝴蝶效应打破了人们精确预测未来的幻想，也更为正确地解释了自然现象。正如美国历史学家亨利·亚当斯所说：“Chaos was the law of nature; Orderwas the dream of man.”，这儿的亚当斯不是美国总统，而是两位总统所属“亚当斯家族”的后代成员之一，他所说“混沌”一词的意义也有所不同。但是，洛伦茨所发现的混沌现象，在科学及人文界的例子屡见不鲜，事实的确如此：“混沌是常态，次序只是人们美好的愿望。”

比如说，生态学家罗伯特·梅，在研究昆虫繁衍的“虫口”（类似人口）问题时发现混沌理论中的分岔现象；金融家们在分析股票市场数据时也发现混沌现象；研究互联网及社交网络的大数据，也能找到混沌。此外，我们每个人的心跳节律及脑电波等，都能看到混沌的踪影。

图1：图片来自网络

http://www.physionet.org/tutorials/ndc/

甚为有趣的是，医学家们原来以为“混沌”的心律也许与心脏病态有关，但后来却发现，健康成人的心率曲线是凹凸不平的不规则形状，貌似混沌。而癫痫病人和帕金森病患者的心率曲线反而呈现更多的规则性和周期性行为，表现得更有规律，如图1所示。

庞加莱3体问题

昂利·庞加莱（Henn Poincare，1854-1912）被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，他从3体运动最早研究了与天文有关的混沌现象。

图2：限制性三体问题

庞加莱企图定性地研究包括小尘埃和两个大星球的‘限制性三体问题’，也就是说，小尘埃的质量大大小于大星体的质量。这种情形下，两个大星球的二体问题可以首先精确求解，大星球1和2相对作椭圆运动。庞加莱需要定性描述的只是小尘埃在大星球1和大星球2的重力吸引下的运动轨迹，但如图2右图的曲线所示，一定的情况下，小尘埃的轨道可能是“混沌”的。

单摆和双摆

单摆是大家熟悉的，如果摆动幅度很小的话，是简单、确定、可预测的简谐运动。

图3：单摆的混沌

如图3a所示的单摆，当角度很小时，摆动频率是单一的，可以看成是仅由摆长决定的简谐运动，相图是一个规则的椭圆（图3b）。但是在有外力的一定条件下，摆动幅度逐渐增大，新的频率分量将不断出现，有时还会产生转动模式，其振动及转动的次数、位置、方向，看起来越来越貌似随机和不确定，最后会过渡到图3c所示的混沌状态。

将一根单摆连接在另一个单摆的尾部所构成的系统叫做双摆。双摆构造简单却很容易观察到复杂的混沌行为，见图4。

图4：双摆的混沌运动轨迹

三生混沌

在对混沌理论作出关键贡献的学者中，有一位华人科学家李天岩。李生于福建沙县，三岁时随父母到台湾，大学毕业后到美国攻读博士学位，后来一直在美国密执安州立大学 (Michigan State University) 数学系任教。李天岩定居美国后数十年，长时期与可恶的病魔作斗争。历经洗肾、换肾、心血管开刀等大手术十余次。意志力惊人的李天岩，长年累月在病床上坚持研究工作，在应用数学与计算数学中作出了不少第一流开创性的贡献^【2】。

李天岩和他当年的博士论文指导教授约克（James A.Yorke），在一起研究洛伦茨的“气象混沌”工作时，以数学家的敏锐直觉，猜测混沌现象的产生与周期3有关，为混沌行为建立了数学基础。

周期3是什么意思呢？可以用一个直观但也许不十分恰当的比喻来解释：几个周期就是几个人传球，周期1时只有1个人，丢来丢去还是丢在1个人手上；周期2就是两个人传来传去；周期3就三个人，周期4就是四个人了。周期1和周期2的结果是简单而可预测的，到了3以上，传球的方式增加到很多种，开始有产生混沌的可能性。

李天岩和约克为混沌取名的文章“周期3即混沌”，使人联想到老子的名言：“一生二，二生三，三生万物。”庞加莱研究的三体问题也有个“3”，看来，于混沌而言，3的确是一个关键的数目！

土卫七的混沌自转

土星和木星类似，有一个诸多卫星组成的大家庭，这个家庭是太阳系中最多种多样的。它已经确认的卫星有62颗，其中有7颗质量较大且呈球形，看起来更像“卫星”。而其余的大多数卫星奇形怪状，因为它们质量都太小，尚不能靠自身的引力平衡而形成球形，看起来像是许多在土星的天空中游荡的小石头。其中有一颗与混沌现象有关的“小石头”是土卫七（Hyperion），见图5a。除此之外，看起来美丽的土星环中还有难以计数的“小小石头”卫星。

图5：土卫七

图5b中所画的是土卫六和土卫七围绕土星转动轨道的示意图，其中的3个天体大小比例远不是真实情况的比例。就质量而言，土星相当于95倍地球质量，土卫六只有0.0225倍地球质量，大约只有土星质量的万分之二，而“小石头”土卫七的质量，还不到土卫六质量的万分之一，见图6。

别看土卫六质量只有土星的万分之二，它可是土星卫星中的“老大哥”，完全有资格瞧不起其它所有的“弟弟”，因为土卫六的质量占了所有环绕土星物体总质量的百分之96。即使在整个太阳系中，土卫六的大小也只是仅次于木卫三，屈居老二。

不过，土卫六的旁边带了一个颇有特色的“小弟弟”，那就是土卫七。

图6：太阳系各行星的主要卫星大小比较图（来自维基百科）

土卫七是土卫六最邻近的卫星，轨道比土卫六稍大。空中漂浮着的土卫七粗看起来像个土豆，长度大约360公里，直径270公里，是太阳系中最大的非球体天体之一。虽然土卫七有一个漂亮的中文名字“海碧尔琳”，但不久前美国宇航局的卡西尼探测器飞过时，将它“细”看了一下，发现它有一张恐怖的“麻脸”，原来在土卫七上布满了大大小小的遭遇小天体撞击的陨石坑。也有人将土卫七的这种多孔外观与“海绵”比较，称其为“海绵卫星”。不过，土卫七最令人感兴趣的是它的混沌旋转。这是什么意思呢？就是将我们刚才介绍的“混沌”概念用在土卫七的自转轴和自转速度（周期）上。也就是说，它的旋转周期和方向都在不停地、貌似随机地改变着，无法预测。众所周知，我们地球自转的周期是24小时左右，自转轴方向基本固定，与公转平面保持66度34分左右的斜度。地球自转的转轴和周期也会变化，但非常缓慢，好些年才偏离一点点。所以，我们每天早上看见太阳从东边升起，下午往西边落下，昼夜规则地交替循环，人体的生物钟也就跟着运转。但是，如果有几个宇航员登陆到土卫七上面去生活一段时间，那他们可就惨了。看见太阳下山之后，不知道它什么时候会再升起来？也许1小时，也许几小时，也许几十小时？都说不准。也不知道太阳会从哪个方向出来？哪个方向落下？也似乎无规可循。因此，天体的混沌自转，对天体上的生物而言，就是昼夜交替的混沌。

土卫七的自转为什么会呈现混沌状态呢？细节原因还有待专家们深入研究，但从混沌现象的一般规律来说，应该与系统的参数太多有关，非线性微分方程参数越多产生混沌现象的可能性越大。如果将土卫七看成一个点质量的话，运动算是一个三体问题。这三体就是土星、土卫六、及土卫七。土星的引力束缚使土卫七成为一颗卫星，而老大哥土卫六的轨道与它靠得很近，影响颇大。两个大天体，一个小天体，有点类似于前面例子中的“庞加莱3体问题”，但庞加莱问题中表现混沌的是轨道，土卫七的混沌表现在它的自转特性，更有可能与其不规则形状有关。

也可以将土卫七的混沌转动与双摆的例子类比：土星及土卫六对土卫七的强大引力，就像双摆中的两根“杆子”。杆子的转角也是混沌的。

土卫六的存在也影响到土卫七的公转轨道（虽然没有混沌）。一是使得它的轨道具有较大的偏心率，见图5b；二是使两者的轨道产生共振，如图7b所示。从卡西尼探测器传回的数据证实，土卫六与土卫七有4:3的轨道共振。也就是说，土卫六（周期16天）绕土星每转4圈，土卫七（周期21.3天）刚好绕土星转了3圈。

图7：轨道共振

图7a显示出一个太阳系中行星轨道共振的例子：地球和金星的绕日轨道共振为8:13。

我们再回到土卫七的自旋混沌。对太阳系中天体的观测发现，如果一个天体偏离球形比较大，即使自转已经被中心天体锁定，它仍然会产生比较大的摇摆，一边转一边摆。就像一个形状不对称的陀螺，高速旋转时也免不了摆动。土卫七离土星的距离比较远，轨道的偏心率大，自身形状不规则，又被旁边的土卫六强烈影响。多个因素产生许多不同的共振频率并互相叠加，结果造成了它的混沌自转。

很多不规则的天体都可能有这种混沌运动，不过观测的资料有限，目前观测到的自转混沌，除了土卫七之外，还有冥王星的几颗小卫星，如图8所示。

图8：冥王星和凯伦（或翻译为卡戎、冥卫一）及小行星（图片来自NASA）

凯伦的质量比较大，和冥王星一起被认为形成一个“双星系统”，这两个矮行星影响到周围的两颗（或几颗）小卫星，使它们大跳“混沌之舞”。

比如冥卫二与冥卫三，它们体积较小且形态不规则。这两颗小卫星是在新视野号升空之前由哈勃空间望远镜发现的。新视野号第一次辨认出了它们的轮廓和大型地貌。冥卫二长度只有42千米，宽度36千米；冥卫三长55千米、宽40千米。它们受到冥王星和凯伦复杂的双星引力场的影响，加之自身形状不规则，新视野号观测到它们正在混沌地翻滚着，自转轴方向和自转周期都不确定^【3】。

（太阳系中，土星是唯一有混沌转动卫星的行星。谁对土星最了解呢？是探测土星12年的“卡西尼－惠更斯号”，我们将在下一篇中介绍它。）

参考文献：

【1】《蝴蝶效应之谜-走近分形与混沌》，张天蓉，清华大学出版社，2013年7月。

【2】中国数学家传(第六卷) 李天岩，作者：丁玖，

http://www.global-sci.org/mc/issues/2/no3/freepdf/15s.pdf

本文是同步发表在微信号“知识分子”和“太空联盟”系列文章《星星背后的物理》之15