有向图嵌入指的是欧拉有向图在可定向曲面上的嵌入，其要求是每一个面均是有向圈和有向圈的并。现代图论奠基人之一Tutte在研究将等边三角形等分为等边三角形时，提出了欧拉有向平面嵌入。Tutte的构造大意是将等分三角形的线对应于有向图的顶点，如果两个顶点连一条有向边，若他们规定等边三角形的一个指向。这样一种等分方法可对应欧拉有向图的平面嵌入(Tutte称她为交替平面地图 Alternating dimap，对于同一种等分方法，可以对应不同有向平面地图)。其后Tutte也提到了将其推广到一般曲面的可能性。Bonnington, Conder, Morton 和 McKenna 于2002年系统地研究了有向图在任意可定向曲面的嵌入。证明了类似图嵌入著名的Duke连续性定理等相关性质。在文章最后他们也提出了若干公开问题。

其中没有解决的问题包括：

1. 有向图最大亏格问题的刻画。图的最大亏格存在Xuong的刻画，是否也有类似的公式来刻画？解决这些问题还需要更多的观察。

2. 有向图亏格问题，特别是对于正则竞赛图的亏格问题。通常我们认为这个问题难度要较图的亏格问题更难，事实上求图的亏格上的方法并不能照搬到有向图嵌入上面。而我们求图亏格的方法并不多。比如求图K_{3,3,3,3}的亏格也是难题。

3. 亏格单峰猜想问题，有向图亏格多项式为对数凹的。

4. 一些重要有相图的亏格多项式的计数问题。我们最近的一遍论文就解决了单点二部有向图的亏格分布问题，利用到了对称群表示理论。

   
   

 当然任何关于图嵌入的性质，都可以往有向图思考提问。

参考文献：

1. C. P. Bonnington, M. Conder, M. Morton, and P. McKenna. Embedding digraphs on orientable surfaces. J. Combin. Theory Ser. B, 85(1):1–20, 2002.

2. Y. Chen, J. L. Gross, and X. Hu. Enumeration of digraph embeddings. European J. Combin., 36:660–678, 2014.

3. R. Hao and Y. Liu, The genus distributions of directed antiladders in orientable surfaces, Appl. Math. Lett. 21(2) , 161–164, 2008.

4. W.T. Tutte, The dissection of equilateral triangles into equilateral triangles, Proc. Cambridge Philos.Soc. 44, 463-482, 1948.