这本来是20190319的一篇博文，今天想到一些问题，准备修改一下。但科学网规定48小时后就不能修改了，因此重新写一篇放在这里。

偶然看到李世春老师2013年的一篇博文，讨论冯端老先生《金属物理学》中的一个说法是否正确。李老师认为冯老先生错了，还引发了一些讨论。后来又把黄昆老先生的书也给牵涉进来。李老师的几篇博文可见：

从一个晶体学问题看：学术地解决“王闻争论案”难于上青天；我爱黄昆，我爱冯端，我更爱真知：和南大学者讨论晶体学问题；原子积木图：晶体学要从娃娃抓起！；ABAB…堆垛的hcp晶体中：A层和B层原子的空间关系。

我把问题及李老师的说法摘抄如下：

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我的论点是：【但周围原子配列情况不完全相同】是错的，应该是【周围原子配列情况完全相同】。

李世春（大毛忽洞）说：…

最权威的国际空间群表表明：A层原子和B层原子是完全等价的，因为他们的几何处境（对称性）是完全相同的。

证据如下：

 以上截图来自《国际空间群表》，黄昆先生所列出的Be、Mg、Zn等晶体，其空间群就是194号空间群，对应的点群为D6h。

需要强调的是，画红线那行数据，是描述hcp晶体（Be、Mg、Zn）中原子的占位和原子坐标。

请注意，在hcp的晶胞中，有两个原子，他们的对称性（几何处境）是完全相同的，都是6m2（6有上划线）。一个原子在A层，另一个原子在B层。

再强调一次，A层原子和B层原子是完全等价的，因为它们的几何处境（空间对称性）都是6m2（6有上划线）。

以上摘自从一个晶体学问题看：学术地解决“王闻争论案”难于上青天。

A原子说：我家住在2c；

B原子说：我家也住在2c；

A原子：有6个近邻，距我是2.6649；（近邻分布见附录3）

B原子：有6个近邻，距我是2.6649；（近邻分布见附录3）

A原子：有6个第二近邻，距我是2.9121；（近邻分布见附录3）

B原子：有6个第二近邻，距我是2.9121；（近邻分布见附录3）

A原子：有6个第三近邻，距我是3.9457；（近邻分布见附录3）

B原子：有6个第三近邻，距我是3.9457；（近邻分布见附录3）

A原子：有6个第四近邻，距我是4.6159；（近邻分布见附录3）

B原子：有6个第四近邻，距我是4.6159；（近邻分布见附录3）

A原子：有12个第五近邻，距我是4.7659；（近邻分布见附录3）

B原子：有12个第五近邻，距我是4.7659；（近邻分布见附录3）

A原子：有2个第六近邻，距我是4.947；（近邻分布见附录3）

B原子：有2个第六近邻，距我是4.947；（近邻分布见附录3）

以上摘自ABAB…堆垛的hcp晶体中：A层和B层原子的空间关系。

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3月15号我在从一个晶体学问题看：学术地解决“王闻争论案”难于上青天下留言：

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吴平伟 2019-3-15 10:42

李老师好，偶然看到您这篇博文，有个问题想请教一下。您说“A层原子和B层原子是完全等价的，因为它们的几何处境（空间对称性）都是6m2”。如果有另外一种晶体，其原子M位于4e等效点系，这4个原子的几何处境是否应该都为3m.？假定z取0.2，这4个原子是否等价？

吴平伟 回复 吴平伟 ： 另外，您认为A、B两层原子等价。我不知道我们对等价的理解是否相同。我理解的等价是：A和B原子等价意味着它们的周围环境完全相同。不知您怎么理解“等价”？

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今天看了一下，李老师还没有回复，我先说一下我的理解。

冯、黄两位老先生书中所说错了吗？并不。相反，是李老师用错了一个概念，即等效点(这个概念我们后面再谈)。李老师写到，“A原子说：我家住在2c；B原子说：我家也住在2c；A原子：有6个近邻，距我是2.6649；……”这些话没错。但是，如果我们把A、B两个原子连接，然后，A说：我沿某方向走x埃，哦，这里有个B原子。B说：我也沿相同的方向走x埃，咦？这里怎么没有A原子？哦，我得沿相反的方向走x埃，那里才有A原子。这也就是为什么冯先生书中说A、B“两种原子周围的原子配列不完全相同”，黄先生书中说“A层中的原子和B层中的原子是不等价的”。

在晶体学中，A、B两个原子等价意味着它们的环境完全相同，而等效则只要求这两个原子可以通过某种对称操作联系起来。等价和等效是什么关系？我简单讨论一下。对称操作有多少种？以对称元素来说，有对称轴、对称面、对称中心、反轴、螺旋轴、滑移面、平移。两个点只要可以通过对称操作联系起来，我们就说它们等效。但只有通过平移操作联系起来的点才是等价关系，也就是它们所处的位置是晶体格子格点的位置。总之，等效和等价是特殊和一般的关系：等价是一种特殊的等效关系。等价必定等效，但等效未必等价。

李老师说A、B原子的家都在2c。这里的2c是表示等效点系的符号。什么是等效点系？前面说过，如果两个点(即位置)能够通过某种对称操作联系起来，就称这两个点等效。相互等效的所有点就构成一套等效点系。一套等效点系所包含点的个数与对称性有关，还和该点是否处在对称元素、处在多少个对称元素上有关。对于一个空间群来说，如果一个点不处在任何对称元素上，那么它及与其等效的点所构成的等效点系称为一般等效点系；如果一个点处在一个或多个对称元素上，那么它及与其等效的点所构成的等效点系称为特殊等效点系。在晶体学中，只给出一个晶胞中的各套等效点系。显然，一个空间群只能有一套一般等效点系，但可能有多套等效点系。比如这里所讨论的194号空间群就有2a、2b、2c、2d、4e…等若干套特殊等效点系，但只有一套一般等效点系24l。2a、2b、2c等符号的含义后面叙述。

下面为194号空间群的所有等效点系：

简单介绍一下这张图。这张图的完整图叫空间群图(space-group diagrams)，按照国际晶体学表2005年版卷A中所说，该图的作用有两个，1，显示对称元素的相对位置和取向；2，说明等效点系中一般等效点的分布。(The space-group diagrams serve two purposes: (i) to show the relative locations and orientations of the symmetry elements and (ii)to illustrate the arrangement of a set of symmetrically equivalent points of the general position.)因为这里只截取了其中的等效点系部分，因此这里看不出第一个作用。这部分图的第一列为Multiplicity,也就是该等效点系中等效点的个数；第二列为Wyckoff letter,没有什么实际含义，可简单理解为顺序；第三列是Site symmetry，也就是这些等效点所处在的对称元素。比如，2a处于(-3m.)、2b、2c和2d三套等效点系都处在(-6m2)、6g处在(.2/m.)上；而24l则处在(1)上，实际上就是不处在任何对称元素上。有人可能会奇怪，这里的点是什么意思？其实，写在这里的这些对称元素指的是三个规定方向的对称元素。对于不同的晶系，三个方向并不相同。各晶系规定的三个方向分别为，立方：a，a+b+c，a+b；四方：c，a，a+b；正交：a，b，c；单斜：b；三斜：a；六方和三方：c，a，2a+b。（当时写的这段话并不准确，其实规定的方向应该为最多三组，每一组可能包括多个方向。这里给出的只是其中一种情况。）所以2b等三套等效点系所处在的-6次轴与c轴平行，m与a垂直，2次轴则与2a+b方向平行。如果该套等效点系在某个方向上没有对称元素，该方向处就用.表示。比如6g处在(.2/m.)上就说明该等效点系不处在与c轴(或2a+b)方向平行的对称轴上，也不处在与c轴(或2a+b)垂直的对称面上。它们所处的对称元素是与a轴平行的2次轴和与a轴垂直的对称面。而24l不处在任何对称元素上，Site symmetry就用1表示。

 最后，还可以给出另外一个例子请博友们思考。下面两张是从不同方向看的Cu₂O晶体结构图。Cu位于4b，所在的对称元素是.-3m；O位于2a，所在的对称元素是-43m。这两个O是否等价呢？注意，17号O原子周围的5、6、7、8号四个Cu原子并不在一个平面上，它们占据了正四面体的四个顶点。

 因为科学网升级，昨天写完这篇博文后没有发出去。今天到办公室又看了李老师后续的几篇博文：黄秀清博士：我们基本达成共识了^_^；和与其讨论的黄秀清的博文：大毛忽洞，玩物理不是玩魔方；同与不同，阳澄湖螃蟹与武汉螃蟹。供博友们参考。

Cu₂O晶体结构属于Pn-3m，224号空间群，O所占据的2a位置的位置对称性为-43m。按李老师的说法，这两个O原子是完全等价的，因为它们的几何处境（空间对称性）都是-43m。但是，从上面的图中，我们明显可以看出两个O原子周围的环境并不相同。这个问题，用一维中的情况来看更为清晰简单。比如，在一维排列......a b    a b    a b    a b    a b    a b.......中，中间的短间隔为1个空格，长间隔为4个空格。那么，从左向右看，对于a，间隔1个空格有1个b，间隔1个空格一个b再四个空格有1个a，间隔1个空格一个b再四个空格1个a和1个空格有1个b，......。如果从右向左看，b和a完全一样。但如果也从左向右看，b和a就显然不一样了。