斯里尼瓦瑟·拉马努金(1887-1920)

1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + …… = ?

尽人皆知1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + …… + n = n(n+1)/2；当n趋于无限，这个无穷级数之和便趋于无穷大。但智力过于发达的拉马努金却顽固地认为1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …… = －1/12:

 c = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ……

4c =       4       + 8     + 12 + ……

上面两个等式相减：

－3c = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …… = 1/(1+1)² = 1/4 (利用1/(1+x)²的泰勒级数展开，然后设定x = 1)

于是：c = －1/12。

1913年，穷困潦倒经常生病挨饿的会计师事务所小职员拉马努金，在印度某穷乡僻壤致信剑桥大学著名数学教授哈代，提及这个结论时他写到：“您肯定会认为我该去疯人院。”虽然哈代读完信后认为拉马努金不是疯子便是旷世奇才，对这个公式却一点也不惊讶。19世纪德国数学家黎曼用他发明的zeta函数得到了同样的结果，而18世纪瑞士数学家欧拉也指出这个无穷级数之和可以写成一个有限的负数。

无穷多个正整数相加怎么会得到一个负数？上面拉马努金的“推导”肯定是错误的，因为这个级数不收敛，而 1 – 2x + 3x²– 4x³ + …… = 1/(1+x)² 只在|x| < 1的情况下成立。拉马努金自然知道这个简单推导只是形式主义，他在信中同时给出了使用Euler–Maclaurin公式的严格推导，结果相同。

对于一个不收敛的无穷级数，需要加上某种“规范”，才能让它的和变为有限。所谓的规范，就是去掉一个无穷大，以使无限不收敛级数之和可能变成一个有限值，以有限表达无限。拉马努金求和法给出一种规范，黎曼的zeta函数给出另一种规范，两者的计算方法完全不同，但结果一致。

拉马努金求和法不仅仅是数学游戏，更是严格、实用的数学方法，用于处理在物理学，尤其在量子力学、量子场论中遇到的无穷大问题。比如卡西米尔效应：

根据量子场理论，没有物质存在的真空仍有能量涨落，因而真空中两片中性的平行金属板会出现非常微弱的吸引力。理论计算时，由于两片金属之间的空间允许无穷多的光子振动模式，而每个振动模式的基态能量不为零，因而两者之间的真空能（无穷多基态光子的能量之和）以及由此导致的相互吸引力（真空能对于位移的导数）都是无穷大。

如何除去没有物理意义的无穷大，从而得到一个可与实验测量相比较的有限理论值？最简单的处理方法是F(d) = f(d) - f(∞)。这里d是两块金属板之间的距离，f(d)和f(∞)是直接计算得到的吸引力。虽然f(d)和f(∞)都是无穷大，二者之差却是有限的；从f(d)中去掉没有物理意义的无穷大f(∞)之后，理论计算结果与实验数据完全吻合。

打开任何一本介绍弦论的教科书，大概都会看到这个颇为奇怪的公式：

$\sum_{n=1}^{\infty }n=-\frac{1}{12}." style="font-size:16px;font-family:arial, helvetica, sans-serif;$

在超弦理论中，计算波色子的一个弦的可能能量级，特别是最低能量级（基态），使用了类似的办法。每一个弦的谐波可以视为一组D个无关的量子谐振子(D是时空的维数)，如果基本振子频率是ω，那么一个振子对n级谐波的贡献是 nhω/4π，这里h是普朗克常数。利用拉马努金的发散级数求和法，我们发现所有谐波(n = 1，2, 3, ……)对能级的贡献总和是 －Dhω/48π。这是弦论的基本公式之一，加上Goddard–Thorn 定理导致波色超弦理论除了维度D=26便不能自洽。

量子场论大量使用重整化群的办法消除无穷大，其数学思想的起源之一便是拉马努金－黎曼规范。重整化的关键在于标度变换：把场的标度变大（就像在计算卡西米尔力时将两块金属板的距离增加），从而将发散的积分分离出来，然后消除。去掉这些令人头疼的无穷大的积分之后，量子电动力学从狼狈不堪忽然变得非常美妙。尽管量子电动力学的奠基者们Dyson，狄拉克，费曼等人对此都非常不满：

“The shell game that we play ...is technically called 'renormalization'. But no matter how clever the word, itis still what I would call a dippy process!” (Feynman)

“Sensible mathematics involvesneglecting a quantity when it is small – notneglecting it just because it is infinitely great and you do not want it!” (Dirac)

却无可奈何，实在找不到一个无需去掉无穷大的更好理论。

并非所有的场都可以被重整化，爱因斯坦的引力场就让物理学家伤透脑筋，因为他们遇到了无法克服的数学障碍：无穷多个无穷大，至今也没有办法将引力场量子化，以实现爱因斯坦之梦——大统一理论。

科学就是以有限为无限，就是发现和运用有限的规律，去理解和预测数量无限的自然现象，以及无穷无尽的宇宙。物理学的唯一理论工具是数学，理论物理是基于数学模型的严密推演，这些纯粹的数学模型常常违背人的日常经验和直觉，却符合所有的实验观测，简直是个奇迹。当爱因斯坦之梦最终成真时，我们会发现所谓的无限，其实仅仅源于某种抽象的对称，它们叠加在一起被拉马努金规范以后，只剩一个比星河还要璀璨、比宇宙还要不朽的方程。