有限元法有坚实的数学和物理基础，因此形成了成熟的理论和方法体系。传统的有限元法是作为解弹性力学问题的数值方法。有限元法更可以作为固体/结构和流体的分析方法，针对一个具体的结构问题，而不是抽象成理想的弹性力学问题进行分析。

所以，在传统的有限元法的基础上，现给出基于变形分析的有限单元法(Deformation based Finite Element Methods, DB FEM)。DB FEM是根据弹塑性理论的结构变形分析、构造插值函数或扩展形式的基函数、构造单元的势能函数并按能量原理建立基本方程。

一般固体/结构因几何形状、边界条件和荷载类型总是处于复杂应力状态，特殊情况下才处于简单应力状态，而简单应力状态是出于便于分析的一种假定。通常，梁、板、壳及结构的组合是处于复杂应力状态的。

如空间梁-柱体系，必存在着拉、压、弯、剪、扭转的影响，梁-柱中任意一点的响应

              (a)

其中： 为在单向或平面或空间作用下产生的一维或二维或三维响应； 为在弯矩作用下产生的横向弯曲响应； 为因横向剪切而影响截面抗弯模量而对弯曲响应的修正； 为剪力产生的响应； 为梁柱因轴向力二次效应产生的响应； 为圣维南扭转产生的响应； 为薄壁杆约束扭转引起的响应。

如果能给出式(a)所示的内力响应，那么可以建立平衡方程，但事实上是非常困难的，而给出任意一点的位移响应却是可能的。

在DB FEM中，根据梁-柱的应力状态并按照弹性阶段Bernoulli -Euler假定或塑性阶段的修正的Bernoulli -Euler假定，确定式(a)中梁-柱任意一点的因拉、压、弯、剪、扭转以及二阶效应而产生的位移，并对位移进行叠加。与此同时，建立梁-柱中任意一点位移与其中性轴所表示的弹性系之间的几何关系。接着，选择独立自由度和广义自由度，构造代表单元弹性系变形的位移插值函数或扩展形式的基函数，给出梁-柱单元中任意一点的应变及虚应变，按照势能驻值原理或虚功原理，即得考虑耦合效应的精确的有限元基本方程。

变形关系的建立和插值函数的选择就是固体和结构分析的DB FEM的两个主要组成部分。针对不同的处于复杂应力状态的固体/结构或结构不同的性状，即可得到不同问题的单元刚度矩阵，实现复杂结构的精确分析。

毫无疑问，如果忽略一些效应影响，那么分析模型可以得到，最后简化为传统的梁-柱模型。在固体和结构分析理论及其有限单元法书中给出的分析模型和算法大部分在程序系统AADS中实现。

                 钱若军 袁行飞    11-10-26