希尔伯特变换 (Hilbert transform(HT)) ¹主要用于求实数信号的包络，也可以用于数据分析，如Hilbert-Huang transform (HHT)²。

HT在实际应用中会遇到两个具体的问题：i）其滤波器在零点是奇异的，不易于实际计算；ii）其不能压制高频噪声，因而不利于求包络。本博客提供一个低通HT，即 Low-passing HT (LPHT)。LPHT能够可以很好地解决上述问题，因此可以作为HT的实际应用版本。

先看HT的定义。对于一个实数时间信号是s(t), 其HT如下定义：

$H{ s} = s(t) * h(t) = frac{i}{pi }int {frac{{s(tau )}}{{t - tau }}} dtau $                                                 (1) 

其中滤波器

$h(t) = frac{i}{{pi t}}$                                                                (2)

注意这里的滤波器h(t)与教科书中的相比多乘了个i，这样做并不改变HT的本质，但可以使得滤波器h(t)的傅立叶变换正好为一个sign函数，即

$hat h(omega ) = sign(omega ) = left{ {begin{array}{*{20}{c}} {1,} & {omega > 0} \ {0,} & {omega = 0} \ { - 1,} & {omega < 0} \ end{array}} right.$                                        (3)

其中，^表示傅立叶变换算子。很明显，HT的滤波器h(t)在零点是奇异的，即

$|h(0)| = infty $                                                                          (4)

下面定义所谓的LPHT。对于一个实数时间信号是s(t), 其LPHT如下定义：

${H_varpi }{ s} = s(t) * {h_varpi }(t) = frac{i}{pi }int {s(tau)frac{{1 - cos (varpi (t - tau ))}}{{t - tau }}} dtau $                                                                        (5) 

其中，v 是某一正常数，代表低通截止频率；而滤波器

${h_varpi }(t) = frac{i}{{pi t}}(1 - cos varpi t)$                                    (6)

该滤波器的傅立叶变换为

${{hat h}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{*{20}{c}} {sign(omega ),} & {|omega | le varpi } \ {0,} & {|omega | > varpi } \ end{array}} right.$                                    (7)

很明显，LPHT的滤波器h_v (t)在零点不奇异，即

${h_varpi }(0) = 0$                                                                    (8)

对比(4)和(8)，我们可以知道，HT有奇异点，而LPHT没有。因此，在实际计算上，LPHT要比HT更容易实现。

对比(3)和(7)可以知道，滤波器h_v (t)是滤波器h(t)的低通滤波结果（其中v是截止频率）。因此，LPHT是一个低通的HT，相当于HT+低通滤波。这样，LPHT就可以压制高频噪声的干扰了。 在LPHT的实际应用中，截止频率v可以更根据实际需要可大可小地设定。

总之，LPHT (5) 既可以消除原始HT (1) 中的奇异点，又可以压制信号中的高频噪声，可谓一举两得。所以，LPHT 可以作为HT的实用版本予以应用。

附记：

l         LPHT也可以应用到HHT的计算；

l         如果大家觉得LPHT很实用，别忘了引用本博客哦。

参考网站：

1       http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E5%8F%98%E6%8D%A2

2      http://www.ancad.com.tw/presentation%20files/VisualSignal/%E4%B8%80%E8%88%AC%E6%80%A7%E4%BB%8B%E7%B4%B9/HHT.pdf