故事1：还帐

A君欠B君钱，A君钱包中有1元、5元、10元不等的钞票，A想搞清楚自己有多少钱可以还B君，他可采用了两种办法。第一种：把钱随机拿出来直接加起来得到最终钱数是多少。第二种：把钱拿出来放到桌子上，按相同面值的放一起，在分别计算1元、2元、5元，最后在把三个总数合起来就可以得到可还款数。第一种被认为是黎曼积分，第二种则是勒贝格积分。

注：勒贝格自己打的一个形象的比喻，为了说明说出两种积分的区别。一般数学分析中积分被称为黎曼积分。

故事2：希尔伯特旅馆

话说小镇上有一家有名旅馆叫希尔伯特旅馆，有房间可数间，一天小镇上的人很多，旅馆很快客满。稍后面又来了一位客人，虽然客房已满，但老板依靠他不俗的智力解决了这个问题，话说让1号房间旅客挪到2号房间去住，2号房间的旅客挪到3号房间去住，3号房间旅客移到4号房间去住，依次类推，这位旅客就被老板安排到1号房间住下。

注：众所周知在现实生活中不可能做到这一点，因为房间数有限的。但是希尔伯特旅馆有可数间房子一个无穷间房子。也说明了无穷和有穷的区别。

故事3：理发师的诺言

在一个环境优雅的小乡村，有一位在手艺精湛的理发师，特别善于刮胡子，镇上所有的男人胡子都找他刮。一日，与朋小酌，酒高，他许下了一个其实与生活无伤诺言， 说：“我只给不给自己刮胡子的人刮胡子。”   一朋友问：“你是否该给自己刮胡子呢？”

注：这个故事是英国文学家、哲学家、逻辑学家罗素给出集合论的一个悖论通俗说法，也是第三次数学危机的起源。