公理化逻辑系统的缺陷

——从计算机的思维到人类的思考之二

         从一个小故事说起：

         据说，在一座山上，住着一位年老的智者，人们盛传他能回答任何人的任何问题。有个小男孩试图愚弄他，于是就抓来了一只小鸟去找智者。

         小男孩把小鸟抓在手心，问老人：“都说你能够回答任何人提出的任何问题，那么请你告诉我这只鸟是活的还是死的？”。

         老人完全明白这个孩子的意图，便说：“孩子啊，如果我说这鸟是活的，你就会马上捏死它；如果我说它是死的呢，你就会放手让它飞走。你看，孩子，你的手掌握着生杀大权”。

    作为一个故事，这很容易理解，如果把它形式化，那就显的神奇了，看如下这个定理：

“不存在这样一个程序(算法)，它能够计算任何程序(算法)在给定输入上是否会结束(停机)”。

定理是这样证明的：

    假设存在这样一个能判断停机问题的程序P，现在我们就可以构造一个程序A，在程序A中，A向P询问，A是否是可停机的，如果P回答A是可停机的，A就进入一个死循环；如果P回答A是不可停机的，A马上就结束；因此，A的存在就证实了P的不存在。当然，这个证明其实并不能完全证实不存在停机判断程序(比如说，P对A进行测试的过程中，可以对先回答停机，或不可停机，测试若干次之后再给出最终的结论)，但是，程序P的构造困难恰恰反映了现有形式化逻辑的局限性，无法对客体的独立性进行干预——本质上说，这是一个博弈问题。

    类似的问题也常常以另外的面孔出现，请看如下的一个悖论：

假设有一个集合A={1，2，3，4}，同时存在4个判断命题：

⑴X是奇数；

⑵X是偶数；

⑶X是理查德数；

⑷X是3的倍数；

    首先我们假定有一个映射方法F，使得4个命题可以分别被映射到一个编码值，不妨令四个判定命题的编码值是1，2，3，4，显然，编码值与命题之间是一一对应的；

    然后，我们定义理查德数的性质：由于4个命题分别在集合A中确定了一个子集(比如，编码值为1的命题对应{1，3}，编码值为4的命题对应{3})，如果一个命题的编码值不属于其命题确定的子集(比如4)，那么称该编码值是理查德数。

    显然，1，2都不是理查德数；

    再后，我们分析集合A上的数字的性质，显然，每个命题的真假都可以转换为集合A上的纯数学判定—— 一个数学命题，要么是真的，要么是假的。

    现在，问题是:  3是否是理查德数？

    假设3是理查德数，即编码值为3的命题对应的集合为{3，4}，那么，3属于集合{3，4}，根据理查德数的定义，3不是理查德数；

    假设3不是理查德数，即编码值为3的命题对应的集合为{4}，那么，3不属于集合{4}，根据理查德数的定义，3是理查德数；

    综上所述，3是否是理查德数是不可判定的。

    如果我们把映射方法F叫做哥德尔编码，而把编码值叫做哥德尔数，我们就得到了不完全定理。

    通过对以上问题的讨论，我们可以发现其中的一些共同的特点：

    主体基于自身的智能特性，试图对客体作出某种正确性（或客观性等）判断，但是，怪异的是，客体(或命题)知晓了主体的判断方式，并充分利用了主体的判断方法，使得主体的判断不能完全实现——尽管主体的判断可能是正确的，但这种正确性完全取决于客体的意愿而不是主体的智能。

    以上几个事例，都可以做成一个如下的简化版本：

    “这个语句是错的”。

    不要小看“这个语句”，由于“这个语句”对概念语义“错的”有了理解，可以说，他得到了一口仙气，这口仙气已经使得他具有一定的博弈本领(或许这就是点石成金的关键所在吧，据说诸葛亮当年摆下的石头阵，之所以能抵挡十万骑兵，靠的也就是这种理解力)。

    休谟说，一切归纳问题的结论都是可以怀疑的。事实上，从我们上面的分析可以看出，一切命题自身的真假都是不可确定的。

         如果命题自身的真假都不能确定，那么公理化系统的理想——试图从几个不容质疑的公理出发，通过形式替换，得到新的正确命题，也就只能是——银样蜡枪头，空有一副好皮囊了。

         寻找几个所谓的公理范式，然后做一些形式推理，这就是现有计算机思维不及人类的另一个重要原因。