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希尔伯特空间（Hilbert space）
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Hilbert空间：关于由内积诱导出来的范数是完备的内积空间称为是一个Hilbert空间。
给定一个内积空间，它可以关于由内积诱导出来的范数完备话。
由Schwartz不等式可知，内积是其因子的连续函数，因此它可以延拓到完备化的空间上，故完备化后的空间是一个Hilbert空间。
Hahn-Banach定理的延拓：设X是一个实线性空间，A是由一簇互相交换的线性映射Av：X->X构成的集簇，即对A中任意两个映射Av和Au，均有AvAu=AuAv
设p是X上的一个实值的、正齐次的、次可加函数并且在每个Av作用下不变：p（Avx）=p（x）
设Y是X的一个线性子空间，l是Y上的线性泛函且满足下列3条性质：
（7.1）l受p控制，即对Y中的每个y，l（y）<=p（y）
（7.2）Y在每个映射Av下不变，即对Y中的y，Avy属于Y
（7.3）l在每个映射Av下不变，即对Y中的y，l（Avy）=l（y）
断言：l可以延拓到整个X上使得l受p控制，且在每个映射Av下不变。
范数：设X是R或者C上的一个线性空间。X上的范数，记为|x|，是X->R的满足正性、次可加性、齐性；
度量：可以通过定义两点间的距离d（x，y）=|x-y|，在X上引入一个度量；
线性空间上具有平移不变性和齐性的度量： d（x+z，y+z）=d（x，y）；d（ax，ay）=|a|d（x，y）
等价的范数诱导出相同的拓扑：假设在线性空间X上定义了两个不同的范数|x|1和|x|2，如果存在常数c，使得对X中所有的x，c|x|1<=|x|2<=c^-1|x|1，则称|x|1和|x|2是等价的
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