沈惠川与网友“血染图腾”之间的电邮

沈惠川：

      我是沈惠川教授。

      有学生说网上有你的帖子，我看了一下你提出的问题。

      你的问题是对“Lagrange未定乘数法”没有真正理解透。你可以看一下我在《经典力学》一书中的有关段落（p120第10行和p121第28行），注意关键词“选择（Lagrange未定乘数）”。

      用“Lagrange未定乘数法”时，由于Lagrange乘数是未定的，所以一般是立不出方程而且解不出来的；只有在“选择（Lagrange未定乘数）”后，才能立出方程定解。经典力学中最后立出“Lagrange方程”。

      在统计力学中求微正则系综的数密度时，选择Lagrange未定乘数等于1（吴大猷先生选其为“常数”），得到一个关于系综数密度的方程，由此解出系综数密度等于常数（或由变分前的“系综数密度”乘以“系综数密度的对数”等于0的方程得到系综数密度等于0及等于常数）。

      正则系综和巨正则系综同样处理。只不过多了几个Lagrange未定乘数。

      吴大猷先生的方法与我是一样的，只不过吴先生有几个Lagrange未定乘数取了负值。

      建议你将“Lagrange未定乘数法”好好复习一下，搞透其中的精要。

“血染图腾”：

沈惠川教授：

      您好，感谢您在百忙之中抽出时间关注了我的提问。我乃是刚刚毕业于哈尔滨工业大学的学生，是实实在在的无名之辈，能收到您的邮件，让我倍感意外和惊喜。

      我是个及其喜爱物理学的人，常常只要一杯茶、一卷书、一支笔、一张纸就能安然度过百无聊赖的周末，但我却不是个脾气平和之人，很较真，记得上大学的时候为了一个问题就跟教授争执起来，所以在论坛上可能有言语上的冒犯，还请原谅。

      您所著的《经典力学》以及《统计力学》我都很喜欢，由其是一些特别的见解和简洁的讲解，我感到很有价值。譬如说您在《经典力学》中的关于变分法的讲解，醍醐灌顶，一看就能明白，诸如“变分与微商何时可互换顺序”之类的问题，书中的亮点不胜枚举，比起其它你抄我的我抄你的为评职称而出的书来说，价值要高上百倍了。我也很赞同您在《统计力学》中所说的“只有系综理论才称得上统计力学”，不从系综出发的统计力学/统计物理学很难有真见解。所以当网友们建议我换本书，不要在一本《统计力学》上死磕的时候，我拒绝了，这本《统计力学》无论从论点上还是讲述方法上都很对我的胃口，另外，在这本书上遇到的具体问题无法用“换一本书”的方式来解决，那是逃避。

      当然对于您在两本书中的一些批评，我至今仍是抱有保守的态度的。譬如说对“广义哈密顿原理”的批评等，我只是认为那只是在数学上放宽了要求的结果，就好比用碗可以盛饭，用锅也可以盛饭一样，虽然大了点，但并不认为是不可原谅的谬误。这问题并非主要想谈的，只是顺便提及，以下内容才是正传。

      您的来信我已阅读过，那本书也已经查过。当时我是通过δ∫(ρlnρ-λρ)dΩ=0计算得到的δ∫{(lnρ+1-λ)δρ+(-ρ)δλ}dΩ=0，当然λ是常数，δλ=0，所以只得到lnρ+1-λ=0，也就是ρ=exp[λ-1]，按照您的意思，要人为选取λ=1，再解方程，也就是说原则上可以选取λ为任意常数（似乎不宜选择为0），考虑到对lnρ的变分还有另一常数项C，如果是这样，得到λ=1以及ρ=const.便没有了困难。

      顺带提及两个问题：

      1.正则系综中的约束条件是∫ρdΩ=1以及<ε>=∫ρεdΩ/∫ρdΩ为一常量，我不明白的是，增加一个约束条件<ε>=∫ρεdΩ/∫ρdΩ为何竟使广义变分原理增加了两项？即：δ∫(ρlnρ-λρ+ηρ+βερ)dΩ=0，为何是这个形式，我没有能想明白，如果取其它形式，譬如只增加一项βερ会怎样，会不会使得我们无法得到ρ的正确的结论？如果是这样，那么就有弄清楚“将约束条件写入变分原理应有什么样的形式、为什么是这个形式”的必要了。

      2.您在书中直接给出最普遍的玻尔兹曼-普朗克熵公式，我认为这样写书是无比正确的，但是关于这个公式，作为一个假设，它是因为什么被定义成这个样子的（总应该有个逻辑上的线索），所以我想，应该应该还是有一个交待比较好。

沈惠川：

你的第一个问题：

      还是与“Lagrange未定乘数法”有关。在“Lagrange未定乘数法”中，约束条件应该写成f=0的形式；如果约束方程右边不是0，则应将右边的东西移到等号左边去。现在由于有（2.8）式，你将分母乘上能量，然后移到等号左边，不正好是两项吗？

你的第二个问题：

      熵的定义式实际上是由Plank公式S=klogW变过来的。它的导出，我认为Planck当初肯定验证过热力学定律。验证过以后，他才放心。从这一点可看出Planck不及Einstein。有了Planck公式后（内能和广义力可以计算出来，但熵必须要另外作假设），统计力学不需要热力学作为拐棍就能导出其他热力学量。

     你可以将我两次说物理内容的贴到网上去。

另复：

      你关于“广义哈密顿原理”的说法不符合逻辑。我不同意。
      Lagrange方程与Hamilton原理是等价的（在我的《经典力学》一书中有证明），而 Lagrange方程、Legendre变换和正则方程这三者之间只有两个是独立的，从任意两个可以导出第三个（在我编著的第二本题谱中有证明），不可能从一个导出其他两个。这就是逻辑。

      所谓“广义哈密顿原理”中已隐含Legendre变换（原变量乘以将要变换的变量，再减去原函数），所以实际上就等价于Lagrange方程。

“血染图腾”：
沈慧川教授：

      您好，按照您提供的办法，如果说<ε>=∫ρεdΩ/∫ρdΩ=E要写成∫(ρε-ρE)dΩ=0的形式，也就是变为f=0的形式，才能写入变分原理中，那么先前的归一化条件∫ρdΩ=1的右侧也不为零，也要将1写到左侧去吗？（我也查过彭桓武、徐锡申的《理论物理基础》，其中也有相似的做法，只是变分的方法十分诡异，上面竟有δ1这样的变分写法，至于为什么要那样写，我亦不是很清楚。）

      另外我还想了解一下，您对“广义哈密顿原理”的态度，是完全否定，还是有所保留地批评？前几个月有您的学生到我们管理的论坛上谈论了“广义哈密顿定理”，至少从中可以看出您对此原理的批评是很严厉的。

另附上：

      为了保险起见，我仍然想要向您确认一下，关于正则系综的数密度ρ的计算，是否是将约束条件∫(ρε-ρE)dΩ=0的-ρE项中的-E吸收到拉格朗日未定乘数η中去了？而且ε的变分似乎为0？（每个系统的哈密顿量也是常量？缘何？）

沈惠川：

      你信中按照我所说的做的变分才是正确的，包括对常数1的变分（当然它等于0）。

      昨天你不顾分母所做的变分就不正确。

      对“推广的Hamilton原理”的态度，我与吴大猷先生相同。我一看到吴先生的信，立即就明白了他的意思，而且马上知道别人错在何处。从未犹豫过。

      我名字中是“惠”，不是“慧”。

      的确是将约束条件∫(ρε-ρE)dΩ=0的-ρE项中的-E吸收到拉格朗日未定乘数η中去了，而且ε的变分为0。

      每个系统（无耗散的）的哈密顿量是常量，它对每个系统而言是守恒量。

“血染图腾”：

沈惠川教授：

      您好，抱歉因为输入法的问题将名字打错了，请您原谅。

      通过您细致的讲解，这部分内容的疑惑已经解除了，实在是非常感谢。

      至于“广义哈密顿原理”，我仔细读过您书中的相关内容，也阅读了吴大猷先生《古典动力学》的相关内容，确实存在一般情况下p与q有关而不能独立变分的情况，而面对“广义哈密顿原理”推导出正则方程的成功，您的具体意见是什么呢？对此我一直比较糊涂，是要“全盘否定广义哈密顿原理”，或是要说明“广义哈密顿原理乃是隐含了勒让德变换的结果”呢？

附：

      可能因为电脑系统的缘故，调好的字体和颜色在发出后就不正常了，发送的信件格式可能会变乱，望谅解。

沈惠川：

      我完全不同意所谓“修正Hamilton原理”的说法。

      上次已经说到，在它所谓的变分原理中，已经有了Legendre变换（原变量乘以将要变成的量，然后减去原有的函数）（当然这么做的人没有意识到，或故意不愿承认这就是Legendre变换），而根据Legendre变换，必然有正则方程中的一个方程（即dq/dt的那个方程）；既然有这个方程，为什么在最后一步时不代入这个方程以得到正则方程的另一个方程（即dp/dt的那个方程）（这就是吴大猷先生和我所做的），而非要说“可以从修正Hamilton原理得到两个正则方程”呢？而非要说“两个正则方程是对称的”呢？

      实际上两个正则方程，无论从来源和功能，无论从“广义经典力学”的角度来看（在广义经典力学中，dp/dt的那个方程很复杂），并非十全十美对称的！这也就是我对“辛对称”并不十分重视的原因。

“血染图腾”：
沈惠川教授：

      您好，您所说的关于“广义哈密顿原理”的看法，看来比我能想象得到的还要复杂的多，先前只知道吴大猷先生说p与q一般应不能独立变分，相互有制约，所以我曾想“广义哈密顿原理”乃是强令假设p与q可独立变分的，也就是放宽条件，不考虑p与q之间的制约。而您这次所说的看来比我从书中看到的想法更为深刻，是我以前没有考虑过的，我应当再花些时日考虑好这个问题。

      再次感谢您的关注与细心的解答。

沈惠川：

      看问题就应当看得深远一些。

      所谓“推广的Hamilton原理”实际上已经用了Legendre变换，却说“不用”就可以得到正则方程，岂非笑话？

     《经典力学》一书，第一、第二两章的“输入”（当时没有将word转换成方正的软件，所以公式要重新“输入”）是个新手，而编辑（《经典力学》）则是调入科大后所编辑的第一本书，所以这两章有不少印错（我计算了一下有几十处），尤其在第二章的习题中。当然，印错处绝大多数都不重要（一看就知道），只有两处比较重要（其中一处在第二次印刷中已改正）。我自己因已疲乏，所以没仔细校对出来。只好等以后第二版（肯定会出第二版，因为社会效益很好）再修正了。

      《统计力学》一书错误极少，现只发现一个错字，一处漏4、5字。

“血染图腾”：

沈惠川教授：

      您好，关于“在推广的哈密顿原理中已经用到勒让德变换”，我已知晓，但以此来说明这个原理不成立，似乎难以站住脚。我的想法是，从数学条件上放宽限制，在让q随意走的同时硬让p也随意走，这样仍然能得到正则方程，说明即使放宽了限制，在物理上也会自动地屏蔽掉那些由于p与q相关联而无法取到的路径。我力挺“推广的哈密顿原理”并不意味着我否认需要借助于勒让德变换，也不意味着我反对吴大猷先生指出的“p与q实际上是有关联的”，我只是认为您对“p与q实际上是有关联的”这句话的含义，似乎是想多了。可能您仍然不能同意我的观点，这不要紧，毕竟目前两种说法都有它的市场，孰对孰错，可以先搁置争议。

      至于您的两本书，我一直认为是很符合口味的，现在再读那本《经典力学》已不感到困难；而《统计力学》的前两章最最基本的东西，从讲法上也非常的美。只是由于我先前不懂得一点统计力学，所以作为一个统计力学的初学者，感到以此书学习尚有难度。甚至有些时候无法理解一些细节，包括符号的表达方法，譬如S=klnΓ(<ε>,V,N)结合D(ε,V,N)=∂Ω(ε,V,N)/∂ε，缘何就表达成S=kln[D(<ε>,V,N)δε]这样的形式，D的参量怎么从ε变成了<ε>？后又为何有一个δε？这个δε是否是变分运算？这样的问题不止一处……由于我水平有限，再加上对这些符号没有详尽的说明，所以我想了半天，却仍然不能完全确信这些符号表达是否就如我想的那样微妙。有时感到“猜不透”，所以这也是我在论坛上说您的书甚至比朗道的书还要深奥的缘故之一。

沈惠川：

1.<ε>就是E。

2.D(ε,V,N)就是Ω(ε,V,N)对ε的微商，所以取D(ε,V,N)作对数时其中必须乘以δε，否则就不等于原来的取Ω(ε,V,N)作对数了。δε是小量，不是变分。

3.我很不明白你和你的朋友们为何要维护错误的所谓“修正的”或“推广的Hamilton原理”！上次已经对你说过，在这个所谓的“推广的Hamilton原理”中，一开头就用了“原变量乘以将要变换的变量，然后减去原函数”，这实际上就是Legendre变换！（你可以记它为L，也可以记它为任意的K；通过这个L或K，就可以算出dq/dt）既然已经用了Legendre变换，为何到了最后一步不将这个dq/dt的式子代进去？却反而说“可以得到两个正则方程”？这是自欺欺人的笑话。

      实际上，许多有识之士（包括许多教授）都已认识到这一点。科大原来有个秦家桦教授，他原来写过一本经典力学，用的就是“推广的Hamilton原理”；后来他看到我在《物理》上写的有关吴大猷的言论，马上就对学生承认自己有错。

      不要以为老外写的就一定对。Goldstein不过是一个教授；吴大猷也是教授，而且是两位诺贝尔物理学奖得主的老师，就不如他吗？我也是教授！现在的年轻人看到外国人就怕，不知何故。

      另：系综理论统计力学中的符号比起例如汪志诚的书，还是简单的。

      看多了就熟悉了。

“血染图腾”：

沈惠川教授：

      您好，我和论坛上的朋友们不是在单纯地维护这个原理，事实上，我们至今也未能明白您到底为什么认为它是错的。如果说，您认为推广的哈密顿原理属于“多余”，那么我们还可以理解，但事实不是这样，按照您的意思，这个原理从逻辑上就讲不通。

      但是我们不这样认为，我仔细查阅了您的《经典力学》P277~P280，我们普遍认为：

      1.通过勒让德变换可以直接得到正则方程；

      2.广义哈密顿原理虽然一上来就用到了勒让德变换，但这个原理本身的着眼点不是勒让德变换，诚然可以用勒让德变换来得到正则方程，但是这个原理走的是另外一条路子，条条大路通罗马！所以唯一值得商榷的问题仅是p与q相关联是否影响到p与q能否独立变分。否则“用了勒让德变换就不行”，这是什么道理？

      吴大猷先生乃是杨振宁先生和黄昆先生的老师，这我是知道的，正因为这样，所以才对吴大猷先生讲的话非常的在意。我不认为我是因为怕老外，然后不假思索地接受戈德斯坦的提法，绝对不是这个样子。

      另外对于问题2，按照书上的写法，ln[∂Ω(ε,V,N)/∂ε·δε]等于lnΩ(<ε>,V,N)？虽然量纲是对的，但是我认为这在数学上有问题，既然δε是一个小量，则∂Ω(ε,V,N)/∂ε·δε应当是Ω(<ε>,V,N)的改变量。我第一次见到类似的数学形式还是在朗道的《力学》上，他推导动量守恒的时候先给出拉格朗日量的一个变化量：δL=Σ∂L/∂r·δr，在数学形式上与此相仿，所以我认为。ln[∂Ω(ε,V,N)/∂ε·δε]不能等于lnΩ(<ε>,V,N)，否则怎么讲得通？

      另：网友们以前给我推荐的林宗涵的或汪志诚的《热力学与统计物理》，实在是写得乱七八糟，而且一翻到系综理论，就发现他们都要以热力学做拐棍，而且竟然连王竹溪先生的书中也要以热力学做拐棍，熵S的计算公式竟是通过与热力学第一定律的方程对比而来的，这是我万万不能接受的！

沈惠川：

1.关于ln[∂Ω(ε,V,N)/∂ε·δε]是否等于lnΩ(<ε>,V,N)的问题：当然不是全等于，否则只须写一个就行了。但是用这两者写出来的熵S差别不大（你可以当作习题练习一下，实际上在我的《热物理习题精解（下）》中就有这道习题），因此这两种写法都可以。

      Ω(<ε>,V,N)与那个“伽玛”只相差一个常数因子，代入熵公式后，差别也不大。

 2.关于“推广Hamilton原理”的问题，我已说过多次。主要是个逻辑问题。既然用了Legendre变换，最后变分得到的只可能有dp/dt那个方程（dq/dt那个方程已经由Legendre变换得到过了），因而根本谈不上什么“推广”（依旧是对q变分这一项），仍然还是原来的“Hamilton原理”。而“Hamilton原理”与Lagrange方程是等价的，这正符合“正则方程必须由Lagrange方程和Legendre变换得到”的逻辑。否则就成为“单从推广Hamilton原理就可得到正则方程”这样一种荒唐的逻辑。

       另外，在运动学中q与dq./dt并非独立的，但在动力学中q与p是相互独立的。运动学和动力学不要搞混淆了。吴大猷先生说的是运动学（从一点到另一点）。而且，尽管动力学中q与p是相互独立的变量，但它们之间是有联系的（拉格朗日量和哈密顿量）。