沈惠川、沈励：《经典力学题谱》跋

        学生做题，是天经地义的事，是为了理解世界、掌握知识必不可少的一个环节，是不得不迈越的一道坎儿.
      我在上海市位育中学（当时曾改名为“上海市第51中学”，著名华裔物理学家田长霖（1935－2002）是我们位育中学1947级的校友）念书时，就喜欢解题，尤其是几何题和代数题（我曾在班上当过几何课代表和代数课代表，甚至当过语文课代表，记得那时班上成绩最好的是胡幼华和王景初两位女生，而不是我这个课代表）. 有空的时候，就一个人（或与邻居的小伙伴如蒋仁达、张闯、经重晖、钱凯等）在弄堂的水泥地上用粉笔之类的东西边画边算；许多难题就是在那种场合被解决的. 第二天去学校，又与吴震家（现在定居于澳大利亚）、马斌华（当时也是数学课代表）、沈如林（现在是杨森公司的副总裁）等同学讨论新的习题. 当时，我的原则是“解题不过夜”、“当天的问题当天解决”，记得有一二次为了解答难题一直搞到午夜或后半夜才去睡觉. 进入清华大学之后（当时担任数学课代表和理论力学课代表），有些力学方面的“大作业”不可能一天解决，才改掉了那“熬夜拼题”的习惯.
      记得在清华大学学习“数学分析”时，用的教材是前苏联G. M. Fihtengoltz的《数学分析原理》（中译本，人民教育出版社，1959），配的习题集是有4462道习题之多的前苏联B. P. Demidovich的《数学分析习题集》（中译本，人民教育出版社，1958）. 这4462道习题，有些相当难解. 我花了一年半时间，牺牲了每天的午休时间（也许对不起还影响了钟勇生、金志胜、何华欣、贾鸿藻、赵国兴等同寝室的同学们的休息），终于挨个儿全数做完，并满满当当工整地抄在8厚本软皮精装的日记本上. 这个中三味，只有亲身经历过的人才会有所体会. 由于8厚本软皮精装日记本的头一本中的插页上有我的几首“歪诗”，因此在文革期间这头一本就被我弟弟沈惠申当废品卖掉了，余下的7本后来也被我自己处理了（因为已不再完整）. 交通大学若干年后出版了一套《Demidovich数学分析习题集解答》，孙和成同学（现在定居新加坡）和陈利颐同学（现在上海交通大学）对我说：“早知如此，你就不该当废纸卖掉！说不定这套《习题解答》就是你的！”
      除了这4462道数学分析习题外，在清华大学期间还解答了不少其他物理学方面的习题（少说也有近千道），但可惜的是都没有保存下来. 如能保存下来，也许同样伟为壮观.
      1977年到中国科学技术大学当上了教师. 教师解题，是份内的事，是为了“传道、授业、解惑”之需要，是为可能的“改造世界”创造初始条件.
      实际上，S. Flügge的《Practical Quantum Mechanics》（Springer-Verlag，1974；中译本《实用量子力学》，人民教育出版社，1981）和久保亮五（R. Kubo）的《Thermodynamics: An Advanced Course with Problems and Solutions》（North-Holland Pub. Co., Amsterdam，1968；中译本《热力学：包括习题和解答的高级课程》，人民教育出版社，1982）、《Statistical Mechanics: An Advanced Course with Problems and Solutions》（North-Holland Pub. Co., Amsterdam，1965；中译本《统计力学：包括习题和解答的高级课程》，人民教育出版社，1985）等教科书，就是一本本习题集. 说明S. Flügge和久保亮五等人在上课前或上课时，都亲力亲为解答了不少习题. 要当好一个称职的教师，多解习题是必要条件. S. Flügge和久保亮五等人就是榜样.
      我在中国科学技术大学任教期间，解答得最多的，除了张量（2厚本）和广义相对论（1厚本）方面的练习题外，就是分析力学方面（3厚本）的和热力学统计力学方面的（已有《热物理习题精解（下）》一书出版，科学出版社，2004）习题. 分析力学方面的3厚本习题解答经补充整理后，我重新装订成册，日后成了我上课的本钱（如吴大猷先生所说的）. 个别学生还来我家里借去这“巨册”习题解答以作复印. 科大学生对我所教授的“理论力学”或“经典力学”课程评价相当好.
      国内的大学，在分析力学、相对论、热力学这三门最重要、最基本的物理学学科的教学方面，都舍不得花学时（有理由指出，也许很多物理学教师本身对相对论都不是很清楚）. 在清华大学念书时，分析力学、相对论、热力学这三门学科的教学都是一晃而过（实际上是虚晃一枪），真正学到手的东西少之又少. 其他大学也差不多. 到了中国科学技术大学后，当时为了帮助某些“老三届”报考硕士研究生以及培训新来报到的年轻教师，科大教务处请力学系的何竹修老师（他是清华校友）重新讲解分析力学约36学时，我和清华校友（比我高两届）张家渠－丁凌仙夫妇（他们现在已定居在加拿大）都去听了. 张家渠后来报考程久生老师（也是清华校友）的研究生，他说：“全部理论力学题，我都是用分析力学方法来解的！” 张家渠的这番话，对我当时自主刻苦学习分析力学是一个巨大的推力和鞭策. 何竹修老师的讲稿是他自己准备的（他的矢量符号是按印刷体书写的，当时有点不习惯），但蓝本是南京大学周衍柏的《理论力学》，习题也是周衍柏书上的.
      所以，我解答的第一批分析力学习题来自周衍柏的《理论力学》. 当时，我的宿舍对门住的是叶取源（他后来到上海交通大学当上系主任、副校长）. 叶取源曾写信给周衍柏，说周书的“第一版比第二版强”，并向周衍柏索讨过其书第一版. 周衍柏的第一版，我后来在上海淮海中路新华书店买到了. 我在解答周衍柏《理论力学》书上的习题时，有时与叶取源作过讨论. 叶取源学周衍柏《理论力学》的时间比我早.
      当时国内通用的《理论力学》教材还有梁昆淼的《力学》（下册）. 梁昆淼可以说是国内第一个将《力学》和《理论力学》“打通”教授的人. 梁昆淼的书，总的说来还是有特色的；不过，他的《力学》（下册）中关于“非完整约束”的Chetaev条件的说法以及将Lagrange方程的“广义能量积分”等同于系统的Hamiltonian的说法，是完全错误的. 后来，有些作者延续了梁昆淼的这些错误说法.
      我后来所解答的分析力学习题有部分来自D. T. Greenwood的《Classical Dynamics》（Prentice-Hall，Inc.，1977;中译本《经典动力学》，科学出版社，1982）、H. Goldstein的《Classical Mechanics》（2nd ed，Addison-Wesley Pub Co.，1980；中译本《经典力学》，科学出版社，1986）和吴大猷先生的《古典动力学》（科学出版社，1983）；也有一小部分来自其他教科书；另有一大部分则是在教学过程中自编的，或者是将已知的习题进行扩展而得到的. 实际上，只要了解分析力学的基本结构、懂得分析力学的程式语言，解答这些习题都是十分简单的；个别的疑难，都是概念模糊所致. Greenwood书上的习题不是很多，Goldstein书上的习题没有给出答案. 除此之外，Greenwood书上和Goldstein书上的某些讲法（例如关于所谓的“推广的Hamilton原理”）也是有问题的，吴大猷先生在给我的信件中已经指出了.
      分析力学中最关键的就是首先要正确写出问题的Lagrangian或Hamiltonian；在Lagrangian或Hamiltonian二者之中，又以Lagrangian更为根本. 为了正确写出问题的Lagrangian，必须首先建立惯性坐标系，其次以约束条件选取问题的广义坐标，然后用广义坐标和广义速度写出正确的Lagrangian. 如果Lagrangian中仍有约束，则对应的Lagrange方程也必须有所改变. Lagrangian写对之后，首先看一下有无“可遗坐标”，其次找一下“广义能量积分”，然后再由Lagrange方程得到问题的运动微分方程. 或者，由问题的Lagrangian根据Legendre变换写出问题的Hamiltonian，其次看一下有无“可遗坐标”、找一下“广义能量积分”，然后由Hamilton“正则方程”得到问题的运动微分方程.
      关于惯性参考系中自由运动的质点，L. D. Landau在其《力学》（中译本，高等教育出版社，2007）中说：“我们立即可以得到其Lagrangian形式的一些结论. 时间和空间的均匀性意味着这个函数不显含质点的径矢和时间，即Lagrangian只是速度的函数. 由于空间各向同性，Lagrangian不依赖于速度矢量的方向，只能是速度大小的函数，也就是说Lagrangian是速度平方的函数.”“由Lagrangian不显含质点的径矢可知……速度是常矢量.”“可见，在惯性参考系中任何自由运动的速度的大小和方向都不改变. 这个结论包括了惯性定律的内容.” Landau接着研究了“自由质点的Lagrangian”，并指出“Lagrangian在速度无穷小变换下满足Galileo相对性原理”. Landau这些由时空特征直接得到自由运动质点的Lagrangian的观点应当引起重视，因为分析力学不仅仅是数学或力学，它首先应该是物理！这就是所谓“Landau风格”！Landau的书之所以好评如潮、经久不衰，不是没有道理的. 当然，Landau的《力学》比起他的另外8本书（《弹性理论》除外）显得单薄了些，其中更是没有多少习题可资利用.
      除此之外，在分析力学中还有一些技巧性的问题，例如正则变换、Poisson括号的计算、Hamilton-Jacobi理论、“化动量正则变换”和“经典对易子”、Liouville方程的精确解等，都可以在解题过程中加以熟悉. 其实都不难. 值得一提的是张量计算在分析力学中的应用：由于引入了张量运算规则，使得某些复杂的Poisson括号的计算突然变得十分简单、方便起来，它的应用前景也突然变得宽广起来.
      当然，学习过程并不仅仅是解题过程，即使是思想十分开放的解题过程也还是远远不够的；所谓“学问”，就是有“学”也有“问”. 最好能有几个志同道合的“谈话对象”经常“切磋”、“交流”. “切磋”、“交流”也可以是很激烈的.（如N. Wiener在《控制论》一书的“导言”中所说的那样：“宣读者必须经受一通尖锐批评的夹击，批评是善意的然而毫不客气的. 这对于半通不通的思想，不充分的自我批评，过分的自信和妄自尊大是一济泻药，受不了的人下次不再来了. 但是，在这些会议的常客中，有不少人感到了这对于我们科学的进展是一个重要而经久的贡献.”）我在中国科学技术大学任教时，就曾有过几个“谈话对象”，例如汪秉宏、张之欧、陈银华、完（颜）绍龙、张鹏飞等人.
      孔夫子说：“学而时习之，不亦乐乎！”（《论语》第一篇/学而）
      若能认真解题，并能有所顿悟，则必然“下士闻道，大笑之；弗笑，不足以为道！”（《老子》第41章）

                                       沈惠川 谨识
                                       2008年5月10日

                                      于中国科学技术大学