我们来研究从线性空间 $ mathbf{R}^n$ 到 $ mathbf{R}^n$ 的线性变 换 $ L$ 对$ n$ 维单位正方形的作用.令 $ L:mathbf{R}^nrightarrow mathbf{R}^n$ 是一个 线性变换,而 $ E$ 是 $ mathbf{R}^n$ 中的一个 $ n$ 维单位正方形,也就是 说,$ E=[0,b_1]times [0,b_2]timescdotstimes [0,b_n]$,其中 $ forall 1leq ileq n$,$ b_i=1$. $ E$ 在 $ mathbf{R}^n$ 中的测度为$ 1$.现在我们来看看,$ E$ 在 $ L$ 的作用下,在 $ mathbf{R}^n$ 中的测度将会发生如何变化.

设线性变换 $ L:mathbf{R}^nrightarrow mathbf{R}^n$ 对应的矩阵为

$ {displaystyle L=begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ldots & a_{1,n} \ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & ldots & a_{2,n} \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & ldots & a_{n-1,n}\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3}&ldots & a_{n,n} end{pmatrix} (1)}$

通过从头到脚的初等行变换(这里的初等行变换包括行之间的交换, 以及将某一行乘以一个非零常数后加到另一行上,但是不包括将某一行乘以 一个非零数这种操作,下文所涉及的所有初等行变换都是这样的.),我们能将矩阵 (1) 化为上三角形式

$ {displaystyle L'=begin{pmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & ldots & u_{1,n} \ & u_{2,2} & u_{2,3} & ldots & u_{2,n} \ vdots & & ddots & ddots & vdots \ & (0) & & ddots & u_{n-1,n}\ 0 & & cdots & & u_{n,n} end{pmatrix} (2)}$

对上三角矩阵 (2) 继续进行初等行变换,不过这时候的初等行变 换顺序是从脚到头,那么可以将上三角矩阵 (2) 化为对角矩阵

$ {displaystyle L''=begin{pmatrix} v_{1,1} & & cdots & & 0 \ & v_{2,2} & & (0) & \ vdots & & ddots & ddots & vdots \ & (0) & & ddots & \ 0 & & cdots & & v_{n,n} end{pmatrix} (3)}$

下面看对角矩阵 (3) 所对应的线性变换 $ L''$ 对 $ E$ 的作用.易 得 ³ 

$ {displaystyle L''(E)=[0,v_{1,1}b_1]times [0,v_{2,2}b_2]timescdotstimes [0,v_{n,n}b_n]. (4)}$

($ forall 1leq ileq n$,当然如果$ v_{i,i}<0$,那么区间 $ [0,v_{i,i}b_i]$其实应该写成$ [v_{i,i}b_i,0]$.)于 是,$ L''(E)$ 的体积变为

$ {displaystyle m(L''(E))=|v_{1,1}v_{2,2}cdots v_{n,n}|b_1b_2cdots b_n=|det L''|. }$

由于初等行变换不改变行列式的值,因此 $ det L''=det L$.于是

$ {displaystyle m(L''(E))=|det L|m(E). }$

下面我们来证明,

$ {displaystyle m(L''(E)))=m(L(E)). }$

根据矩阵 $ L''$ 的形成过程,可得

$ {displaystyle L''=P_1P_2cdots P_kL, }$

其中 $ P_1,P_2,cdots,P_k$ 是初等阵,代表的是矩阵的初等行变换(不包括将某 一行乘以一个非零数这种操作),因此我们只用证明

$ {displaystyle m(P_1P_2cdots P_kL(E))=m(L(E)). (5)}$

为了证明 (5),我们只需要证明如下引理(为什么只需要证明这 个引理就可以得到 (5)?提示:若 $ L(E)$ 是个 $ n$ 维的规则几何体,则它可以被可数个 $ n$ 维正方形填充.)

引理 1  $ mathbf{R}^n$ 中的 $ n$ 维正方形 $ K$ 在初等阵 $ P_i$ 的作用下不改变其在 $ mathbf{R}^n$ 中的测度.

而该引理的证明是容易的.如果初等阵 $ P_i$ 代表的是行 之间的交换,那么 $ mathbf{R}^n$ 中的 $ n$ 维正方形 $ K$ 在 $ P_i$ 的作用下 只是挪了一个位置.如果初等阵 $ P_i$ 代表的是某一行乘以一个非零数后加到 另一行上,那么 $ n$ 维正方形 $ K$ 在 $ P_i$ 的作用下只会向某一个维度发生偏 移,整个正方形体发生了倾斜,但是体积仍然不会受到影响.

^{3. [对角矩阵的效果是将 $ n$ 维矩形变为另一个 $ n$ 维矩形.]↩}