已知,一个向量空间的基,被定义为该向量空间的极大线性无关组.一个向量空间,若存在一个基,该基由有限个向量组成,则该向量空间的其它基也由相同数目的向量组成.正是因为这个事实,我们才能定义向量空间的维数为向量空间任意一个基中向量的数目.而这个事实可以由以下定理推出.

 定理:设 $mathbf{A}_{1},cdots,mathbf{A}_{n}$ 是域 $mathbf{F}$ 上的向量空间 $V$ 中 $n$ 个线性无关的向量.$mathbf{B}_{1},cdots,mathbf{B}_{m}$ 也是向量空间 $V$ 中 $m$ 个线性无关的向量.若对于一切 $1leq ileq n$, $mathbf{A}_{i}$ 可以被$mathbf{B}_{1},cdots,mathbf{B}_{m}$ 线性表示,则 $nleq m$.

证明:我们考虑用数学归纳法来证明.对 $m$ 进行归纳.当 $m=1$ 时,对于任意$mathbf{A}_{i}$,都有 $mathbf{A}_i=a_imathbf{B}_1$,其中$a_{i}in mathbf{F}$,因此为了 $mathbf{A}_1,cdots,mathbf{A}_n$ 线性无关,只能有 $n=1$.可见,$m=1$ 时,$n=1leq m$.

假设当 $m=k(kgeq 1,kin mathbf{N})$ 时,定理也成立. 则当 $m=k+1$ 时,

• 如果对于所有的 $1leq ileq n$, $mathbf{A}_i$ 被 $k+1$ 个线性无关的向量$mathbf{B}_1,cdots,mathbf{B}_{k+1}$ 进行唯一的线性表示的时候,$mathbf{B}_{k+1}$ 前的系数为 $0$,则根据假设,$nleq k<k+1$.此时,命题成立.

• 如果存在 $1leq jleq n$,使得$mathbf{A}_{j}$ 被 $k+1$ 个线性无关的向量$mathbf{B}_1,cdots,mathbf{B}_{k+1}$ 进行唯一的线性表示的时候,$mathbf{B}_{k+1}$ 前的系数不为 $0$,即$$mathbf{A}_j=h_1mathbf{B}_1+cdots+h_{k+1}mathbf{B}_{k+1},$$其中 $h_{k+1}neq 0$.则所有满足该条件的 $mathbf{A}_j$ 形成一个集合 ${mathbf{A}_{j_1},cdots,mathbf{A}_{j_p}}$,其中 $1leq pleq n$.对于 $mathbf{A}_{j_t}in{mathbf{A}_{j_1},cdots,mathbf{A}_{j_p}}$,有$$mathbf{A}_{j_t}=h_{1,t}mathbf{B}_1+cdots+h_{k+1,t}mathbf{B}_{k+1},$$于是我们事实上得到了一个方程组begin{equation}  label{eq:1}  begin{cases}    mathbf{A}_{j_{1}}=h_{1,1}mathbf{B}_1+cdots+h_{k+1,1}mathbf{B}_{k+1},\    mathbf{A}_{j_{2}}=h_{1,2}mathbf{B}_1+cdots+h_{k+1,2}mathbf{B}_{k+1},\    vdots\    mathbf{A}_{j_{p}}=h_{1,p}mathbf{B}_1+cdots+h_{k+1,p}mathbf{B}_{k+1}.end{cases}end{equation}在这个方程组里,对于所有的 $1leq jleq p$,$h_{k+1,j}$ 都不为 $0$.$forall 1leq ileq p$,将该方程组里的第 $i$ 个方程乘上$-frac{h_{k+1,1}}{h_{k+1,i}}$,再加上第一个方程,这样就把第 $i(igeq 2)$ 个方程里的 $mathbf{B}_{k+1}$ 消去了(当然在此我们不考虑 $p=1$ 这种简单情形.因此谈论 $igeq 2$ 是有意义的.).因此$$A=left{mathbf{A}_{j_{1}}-frac{h_{k+1,1}}{h_{k+1,2}}mathbf{A}_{j_{2}},cdots,mathbf{A}_{j_{1}}-frac{h_{k+1,1}}{h_{k+1,p}}mathbf{A}_{j_{p}}right}$$中的每个向量都可以被 $mathbf{B}_1,cdots,mathbf{B}_k$ 线性表示,且易得集合 $A$ 中的所有向量线性无关.这些向量连同集合 ${mathbf{A}_1,cdots,mathbf{A}_n}backslash{mathbf{A}_{j_1},cdots,mathbf{A}_{j_p}}$ 里的向量,共有 $n-1$ 个向量能被 $mathbf{B}_1,cdots,mathbf{B}_k$ 线性表示,因此根据归纳假设,$n-1leq k$.只有 $mathbf{A}_{j_1}$ 不能仅被$mathbf{B}_1,cdots,mathbf{B}_k$ 线性表示,还需要$mathbf{B}_{k+1}$ 的参与.因此集合$$B=Acup left({mathbf{A}_1,cdots,mathbf{A}_n}backslash {mathbf{A}_{j_1},cdots,mathbf{A}_{j_p}}right)cup{mathbf{A}_{j_1}}$$中向量个数$n$不超过 $k+1$,且易得集合 $B$ 中所有向量线性无关.且易得集合 $B$中的线性无关的向量个数和集合${mathbf{A}_1,cdots,mathbf{A_n}}$中的线性无关的向量一样多.因此 $nleq k+1$.

综上我们利用归纳法证明完毕.