103 页第4题 设
是banach空间,证明如果
可分,则
也是可分的。
这道题目具有很强的技巧性,我想了很久没想出来,最后在网上找到了答案
103 页第5题
证明
及
不是自反的。
证明:这道题目很简单,直接使用上面第四题的结论“设
是banach空间,证明如果
可分,则
也是可分的。”即可。
因为
及
的对偶空间
和
分别是
和
, 如果
及
是自反的,
和
的对偶空间是
及
,而
和
不是可分的,
及
是可分的,因此矛盾。
对于
,本题也有一种稍微麻烦的办法,首先,在
里面有一个子空间
:
中所有的其本身为收敛列的元素,也就是
,
这样的元素构成的空间
。
在子空间
里面定义一个泛函,对于任意的
,
,
,可以证明
是子空间
上的线性有界泛函,于是可以延拓到
上的线性泛函
,使得在子空间
上
。且
,若
的对偶空间是
,则有
中的元素
与同构,且
, 有因为
,所以
,所以
,所以
,但是另一方面,
,所以
,所以
,与之矛盾
103 页第7题 暂时还不会
103 页第8题 设
是banach空间
中的点列。证明如果对于每一个
,
, 则存在常数
,使得对于每一个
:
证明:本题使用共鸣订立可以很容易的证明。
构造一个集合
,集合中的每一个元素是个
中的点列:
其中,
为实数的符号函数:
当
当
对于集合
中的任意一个元素
,可将任意的
按如下映射到实数,
又因为对于每一个
,
,所以对于每一个
,
,且这个映射是个线性映射,于是根据共鸣定理有,存在实数
,使得对于每一个
,
有
,
即:
存档一下
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