泛函分析第二教程урысон引理证明,在书的110页, 线形拓扑空间那一章
引理如下,设
是正常空间 ,A和B是两个不相交的子集,则有
上的实值连续函数
使得(i)
在A上取值为0;(ii)
在B上取值为1;(iii)对于任何
.
书中的证明最开始使用了一个结论,当
是正常空间时,对于
的闭集
以及开集
,如果
,必有开集
使得
书上这一步没说明,这里可以证明一下正常空间存在以上结论。
因为
是开集,所以其补集
是闭集,那么因为
,所以
,又因为
是闭集,且
是正常空间,满足第四分离公理,所以有开集
和开集
使得
,
且
.
又,
是闭集,且由以上可知
,而根据闭包的定义,
是包含了
最小的闭集,所以
,所以
上述证明是否有错误呢,正常空间是符合第一和第四分离公理的拓扑空间,但是上述的证明没有用到第一分离公理。。。
这条引理证明过程并不复杂,后面就是不断的重复使用以上的结论,“划分”空间:
最后,
很容易的可以证明
是连续函数。这里值得注意的是,该引理的证明似乎是不断的“划分”这个拓扑空间,使其“间隔”不断地小,似乎只有定义了“有理数”值域,但是实际上,有理数在实数中稠密,因此“无穷”的划分,使其不断地逼近任意的实数,上式的inf正是表达了这一点,其实使用sup也是一样的。
这个引理在其他书上有证明,记得离曼几何书上有这个引理在
上的情形,证明就简单多了,只需要构造函数而已,但是这个引理具有更广泛的意义,体现了泛函分析高度抽象的特性。
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没办法了,公式搞不好