洛伦兹变换公式的详细推导

                          -相对论浅浅说之（01）

在麦克斯韦提出了他的电动力学方程组，指出应该存在电磁波，并且光也是电磁波之后，当时的物理学家面临着一个非常令人困惑的问题。按照麦克斯韦方程组，光的速度是个常数c。而按照伽利略变换，同一束光在两个相对运动的坐标系中观测到的速度是不同的，即所谓的速度向量相加定理。因此，麦克斯韦方程组只在一个特定的惯性坐标系中成立，在其它的惯性坐标系中将有不同的形式。这个特定的惯性坐标系，被叫做以太。

由于地球绕着太阳的公转，地球必定在以太中运动，且不断地改变方向。这将会导致一些可以观察到的效应，例如一年中迈克尔逊干涉仪中干涉条纹的变化。但是，所有实验都未能发现地球和以太的相对运动。当然，物理学家做了很多理论上的努力，试图调和麦克斯韦方程组和伽利略变换的矛盾，结果都不成功。

爱因斯坦选择了另外一条道路-创新，因为他是天才。

爱因斯坦认为，麦克斯韦方程组在任何惯性坐标系中都成立-有同样的形式，而伽利略变换需要发展/推广。注意，不是打倒/推翻！于是，光在任何惯性坐标系中都是同一个常数-光速不变原理。

为叙述简单起见，讨论二维时空。假定坐标系K’相对于坐标系K 以速度v运动，而且t=0时两个坐标系的原点重合，时钟也同步。那么，按照经典力学的伽利略变换，两个坐标系中的位置x和时刻t的关系是：

$t'=t$                                      （1）

$x'=x+vt$                                 （2）

历史上，洛伦兹在19世纪末研究“电子论”的时候发现了洛伦兹变换公式，描述运动电子的“收缩”。现在恐怕已经没有多少人知道洛伦兹电子论是什么了，但是爱因斯坦发现的时空坐标变换公式和洛伦兹的着名公式的形式完全相同，虽然物理意义不同；他也保留了这个名字，大概是向前辈致敬吧！那时候的科学家好像并不喜欢批判这个，打倒那个的。

时空原点重合的坐标系变换的一般形式是：

$t'=G(x,t,v,c)$

$x'=F(x,t,v,c)$

说明：除了v,c之外，公式中不应该有其它的常数和参数。

根据相对性原理，必定有：

$t=G(x',t',-v,c)$

$x=F(x',t',-v,c)$

因此，G和F必须是线性变换，即：

$t'=ax+bt$                            （3）

$x'=fx+gt$                           （4）

这里有四个待定的参变量：a,b,f,g，它们都是v,c的函数。

换一个形式：

$x'-ct'=m(x-ct)+m'(x+ct)$        (7')

$x'+ct'=n(x+ct)+n'(x-ct)$          (8')

现在让我们按照爱因斯坦的巧妙方法，应用光速不变原理来证明m'必定是零。或者换一个说法，（7’）只有在m'=0时才能满足光速不变原理。

对任意的t,表达式x(t)=ct 描写一个在t=0时经过原点的光脉冲。它也在t'=0时经过K’坐标系原点，而且速度为c。所以在K'坐标系中，这个光脉冲的表达式是x'(t')=ct'。

代入（7’），得到：

由于t的任意性，可以肯定 m'=0。

同样道理，n'=0。

于是我们有：

$x'-ct'=m(x-ct)$                       （7）

$x'+ct'=n(x+ct)$                        （8）

或者：

$x'=ux-wct$                             （9）

$ct'=uct-wx$                            （10）

为了决定这两个参量u,w，爱因斯坦研究了K' 坐标系原点的运动和引用了相对性原理，结果当然就是众所周知的洛伦兹变换。具体过程如下：

K'的原点：                      

$x(t)=vt$

代入（9），就得到：

(9)(10)成为：

                   （11）

              （12）

再应用一下相对性原理，就能确定u,得到最后的洛伦兹变换公式。这里的u是v,c的函数：

                           u=u(v,c)

但是：1.科学网的文字编辑器的Latex我找不到了。2.已经过了午夜，我也很想睡觉了。最后这一步，就留给愿意钻研的同学作为家庭作业吧，等我找到Latex后再补上。

就到这里，就到这里吧，晚安！    2014-03-29 0:30

补记：2014-03-29 8:30

终于想起来了，科学网的编辑器可以自动识别Latex语句。把相对性原理的应用这一步补上试试。

下面我用的方法和爱因斯坦不同，当然结果是一样的，“条条大路通罗马”吗。

狭义相对论的文章和教科书中，经常定义：

$\beta  =\frac{v}{c}$                           （13）

从（11）（12）（13），有：

$x'=ux-u\beta ct$

$ct'=uct-u\beta x$

经过简单的计算：

$x'+\beta ct'=xu(1-{\beta}^2)$

但是根据相对性原理，逆变换：

$x=u(x'+\beta ct')$

所以：

${u^2}(1-{\beta ^2})=1$

$u=\sqrt{\frac{1}{{1-{\beta ^2}}}}$

教科书中，通常定义：

$\gamma =\sqrt{\frac{1}{{1-{\beta ^2}}}}$

最终的二维时空的洛伦兹变换公式是：

$x'=\gamma (x-\beta ct)$

$ct'=\gamma (ct-\beta x)$

以及其逆：

$x=\gamma (x'+\beta ct')$

$ct=\gamma (ct'+\beta x')$

显然，$\beta $ 的绝对值必定小于1，是以光速c为单位的速度。而$\gamma $必定大于1。

在低速运动时，可取近似：

$\gamma =1$

不难验证，此时洛伦兹变换还原成为伽利略变换。洛伦兹变换确实是伽利略变换的推广。

补充：  

这里我们讨论的是惯性坐标系，时空一定是均匀的。
如果是非线性变换，新的坐标系不再是惯性系。
狭义相对论的前提是至少存在一个惯性系，于是根据洛伦兹变换，必定存在无穷多个惯性系。
所以，狭义相对论的应用范围是引力场造成的时空弯曲可以忽略的区域。如果不能忽略，就要用广义相对论或者更复杂的理论。