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关于13球称重问题 精选

已有 18331 次阅读 2013-2-1 23:49 |系统分类:观点评述

"十三个球,其中十二个重量相同,只有一个次品不知是轻还是重了。请用天平称三次,将这个次品找出来。"
http://blog.sciencenet.cn/blog-2321-657999.html
此文中,先论证了8个球必须要3次才能找出,然后推论出13个球称重肯定找不出,我表示不同意,上文博主犯了一个错误,在于割裂了第一次沉重对于后面称重的影响,没有考虑到3次称重之间的信息交互作用。本文给出一种针对13球称重问题的解,请大家指导。
假设分为:A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4,C1,C2,C3,C4,C5三组。
第一称,称A和B组
结果:平衡,次品在C中,可以找出。(以A1,A2,A3和C1,C2,C3进行比较,1)如平衡,则A1比C4,平衡,则为C5,否则为C4。2)如不平衡,则问题在C1,C2,C3中,假设C1,C2,C3要重一些(假设是合理的),比C1,C2,如平衡,次品为C3,否则,如不平衡,可推断出结果,则重的一方是次品。)
     不平衡,不失一般性,假设A这边要重一些,现在知道的信息有,C中时标准的,A这边要沉一些,如果次品轻一些,那么次品在B里面,如果次品重一些,那么次品在A里面。据此,开始下一步。
第二称:取C组,和A1,A2,A3,B1,B2.
结果:平衡,因为C中都是正常的,则问题出现在A4,B1,B2当中。
 第三称:取C1,C2和A4,B3. 结果:平衡,次品是B4(找出)。如不平衡,如果C这边沉一些,则说明次品轻一些,则结合第一次称的结果,可知,次品在B小组里面,则次品为B1(找出),如C这边要轻一些,则说明次品要重一些,则次品是A4.
现在讨论第二称不平衡的情况:第二称不平衡,则说明问题在A1,A2,A3,B1,B2里面,根据现有结果,如果C这边沉一些,则可知次品轻一些,结合第一称的结果,则问题出现在B1,B2里面,则第三称对比B1,B2就知道了(找出)。如果C这边要轻一些,说明次品要重一些,结合第一称的结果,问题出现在A1,A2,A3当中,第三称对于A1,A2,如果平衡,则是A3,如果不平衡,则是A1,A2中重的一方。
据此,此方法论证3次之内可以称出。从信息论视角分析,每次称都是把球分为三分之一,则三次下来,可以获得信息量应该是判断27个球的轻重问题(在轻重已知的情况下),而本题中轻重不知,则认为信息量减半,具体能称出多少球就不清楚了,目前可以推测的是,14个球应当是可以的,15,16个球行不行,需要进一步推断。
本题的关键在于有机结合三次的结果,来预判出轻重关系,从而有效称出,原文博主基于8个球必须要3次才能称出而推断出13个球称不出,相对有些武断,割裂了第一次称和后面的信息交互关系。为方便理解,如图:


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